Derivada de segunda ordem

por **Maou** » Qua Dez 03, 2014 13:45

Olá tudo bom, a partir desta função y(x) = (x+1)?(1-x) derivando eu chego em y'(x) = ?(1-x)+1/2(x+1)1/?(1-x) mas quando vou derivar novamente y''(x) estou me perdendo no meio dos cálculos e esta ficando cada vez maior poderiam me ajudar.

Desde já agradeço.

por **adauto martins** » Qua Dez 03, 2014 15:09

$y=(x+1)\sqrt[]{1-x}....$ ,vamos usar a derivada do produto,ou seja...(f.g)'=f'.g+fg'...logo...
$y'=\sqrt[]{1-x}+(x+1)(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x})=\sqrt[]{1-x}-(x+1/2.\sqrt[]{1-x})$ ...
$y'=(1-x)-(x+1)/(2.\sqrt[]{1-x})=-2x/(2.\sqrt[]{1-x})=-x/(\sqrt[]{1-x})$ ...aqui agora e usar a derivada do quociente,ou seja... $(f/g)'=(f'g-fg' )/{g}^{2}$ ,entao... $y''=((-1).\sqrt[]{1-x}-(-x).(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x}))/({\sqrt[]{1-x}})^{2}$ $=-\sqrt[]{1-x}-x/(2.\sqrt[]{1-x}).(1-x))$ $=-2.({1-x})^{2}-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})$ $=-2(1-2x+{x}^{2})-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})$ $\Rightarrow y''=-{x}^{2}+x-2/(\sqrt[]{({1-x})^{3}})$

por **lucas_carvalho** » Qua Dez 03, 2014 15:12

Olá!
Para derivar funções desse tipo precisamos da regra da multiplicação:
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
Então:
$y' =[x+1]' . \sqrt[]{1-x} + (x+1). [\sqrt[]{x-1}]'$
$y'=\sqrt[]{1-x} - \frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}$
Agora é só calcular a segunda derivada, lembrado que a derivada de uma subtração é igual a subtração das derivadas:
$y''= [\sqrt[]{1-x}]' -[\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}]'$
$y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}} - \frac{1}{2}. \frac{\sqrt[]{1-x}+\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}}{1-x}$
$y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}}- \frac{3-x}{4\sqrt[]{(1-x)^3}}$

Espero ter ajudado!

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