por Cleyson007 » Ter Nov 04, 2014 16:47
Se z = f(x,y), onde x = r² + s² e y = 2rs, encontre

.
Alguém me esclarece da passagem grifada em vermelho?

-

Cleyson007
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por Russman » Ter Nov 04, 2014 22:54
Primeiramente, a resolução separa as derivadas de modo que

.
Mas, como

,
então

que, pela regra da soma e do produto, fica
![\frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial x} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial y} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right ) \frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial x} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial y} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right )](/latexrender/pictures/68244cfa76501a09e7780fa55a27c546.png)
Agora, como

então

e

.
Portanto,
![\frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial^2 z }{\partial x^2}\frac{\partial x }{\partial r}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y }\frac{\partial y}{\partial r} \right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial^2 z }{\partial y^2}\frac{\partial y }{\partial r}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y }\frac{\partial x}{\partial r}\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right ) \frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial^2 z }{\partial x^2}\frac{\partial x }{\partial r}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y }\frac{\partial y}{\partial r} \right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial^2 z }{\partial y^2}\frac{\partial y }{\partial r}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y }\frac{\partial x}{\partial r}\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right )](/latexrender/pictures/b01a60dcac71f7bf6264e1c03d9c8a62.png)
e, enfim,

Os termos entre parenteses são calculáveis pois é dada a forma explícita das funções.
Editado pela última vez por
Russman em Qua Nov 05, 2014 01:08, em um total de 1 vez.
"Ad astra per aspera."
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por Cleyson007 » Ter Nov 04, 2014 23:30
Pode me esclarecer essa parte por favor
Russman?
Russman escreveu:que, pela regra da soma e do produto, fica
![\frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial x} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial y} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right ) \frac{\partial^2 z }{\partial r \partial s} = \left (\frac{\partial x }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial x} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial^2 x }{\partial s \partial r} \rig\right ) +\left (\frac{\partial y }{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r} \left ( \frac{\partial z }{\partial y} \right )\right ] +\left (\frac{\partial z }{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial^2 y }{\partial s \partial r}\right )](/latexrender/pictures/68244cfa76501a09e7780fa55a27c546.png)
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por Russman » Qua Nov 05, 2014 01:23
Primeiro, pela regra da soma

e, depois, pela regra do produto em casa parcela:
![\frac{\partial }{\partial r} \left (\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}\right) = \left (\frac{\partial x}{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r}\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right ) \right ] + \left (\frac{\partial z}{\partial x} \right ) \left (\frac{\partial^2 x}{\partial r \partial s}
\right ) \frac{\partial }{\partial r} \left (\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}\right) = \left (\frac{\partial x}{\partial s} \right )\left [ \frac{\partial }{\partial r}\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right ) \right ] + \left (\frac{\partial z}{\partial x} \right ) \left (\frac{\partial^2 x}{\partial r \partial s}
\right )](/latexrender/pictures/28237eff92414e3edc406e6e9d5647ec.png)
![\frac{\partial }{\partial r} \left (\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\right) = \left (\frac{\partial y}{\partial s} \right ) \left[ \frac{\partial }{\partial r}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right ) \right] + \left (\frac{\partial z}{\partial y} \right ) \left (\frac{\partial^2 y}{\partial r \partial s}
\right ) \frac{\partial }{\partial r} \left (\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\right) = \left (\frac{\partial y}{\partial s} \right ) \left[ \frac{\partial }{\partial r}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right ) \right] + \left (\frac{\partial z}{\partial y} \right ) \left (\frac{\partial^2 y}{\partial r \partial s}
\right )](/latexrender/pictures/bdb6a87cbbbcb9f217729695edbe45c2.png)
Agora basta somar. Mais claro?
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por Cleyson007 » Qua Nov 05, 2014 12:39
Obrigado
Russman!
Agora ficou mais claro

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Autor:
leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41
pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
Assunto:
dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor:
Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16
Observe o raciocínio:
10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas
1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas
1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas
40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas
40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas
Assunto:
dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor:
leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18
pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.
Assunto:
dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor:
leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21
leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.
valeu meu camarada.
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