[Integração Definida] dúvida em integral com u.du

por **Nicolas1Lane** » Sáb Ago 30, 2014 20:36

Boa noite amigos, faz um tempo desde que fiz cálculo I e estava procurando recordar-me de como fazer integração por substituição u.du para a seguinte uma f(x)= (6-3x)/x definida no intervalo [a,b] delimitado em x pelos intervalos de integração de 1 até 2.

$f(x)=\int\limits_{1}^2~[(6-3x)/x] dx$
Essa é parte de um cálculo de área definido por 3 funções. Estou com uma dúvida muito básica, depois de colocar em evidência o 3, como devo proceder para integrar esta função?
Pois me recordo de a integral de 1/x ser igual a ln|x| e a integral de 6-3x ser 6x - 3x²/2, mas não tenho certeza se é correto fazer a integração delas sem uma substituição.
Poderiam me dizer como devo proceder para resolver este cálculo? Obrigado.

por **DanielFerreira** » Sáb Ago 30, 2014 22:48

Olá Nicolas,
boa noite!

$\\ f(x) = \int_{1}^{2} \left [ \frac{(6 - 3x)}{3} \right ] dx = \\\\\\ f(x) = \int_{1}^{2} \frac{3(2 - x)}{3} dx = \\\\\\ f(x) = \int_{1}^{2} (2 - x) dx =$

Para integrá-la, não precisará aplicar uma substituição simples; podes integrar a partir das tabelas...

Caso não consiga prosseguir, informe a dúvida ok?!

por **Nicolas1Lane** » Sáb Ago 30, 2014 23:36

Nossa! Me desculpe, quando estava digitando nem havia percebido...houve um pequeno erro de digitação na função a ser integrada ao escrevê-la em LATEX.
a função f quando sobre um 3 sei que pode ser simplificada com meios bem básicos de integração.
Mas quando se tem um (...)/x tem a necessidade de uma substituição correto?

Obs: Já arrumei a função. da minha dúvida.
E estive usando como referência o Geogebra para tentar chegar a solução, mas algo ainda devo estar fazendo errado, pois: a solução dada por ele é $f(x)=\int\limits_{1}^2~6 ln|x|-3x dx$
Sendo que no máximo pelo que tentei até 3horas atrás fora: $f(x)=\int\limits_{1}^2~(3x - 6)ln(|x|)dx$

Sei que meu cálculo está errado e pensei que talvez seja por conta do valor da substituição não ter sido a melhor escolha, mas se fosse 1/x sei que teria sido pior.

portanto usei a partir de $f(x)=-3\int\limits_{1}^2~\frac{-2+x}{x}dx$
u = x - 2
$\frac{du}{dx}=1\to du = dx$
$f(x)=-3\int\limits_{3}^0~\frac{u}{x}du$
$f(x)=-3[uln(|x|)]\int\limits_{1}^2$
$f(x)=-3(x - 2)ln(|x|)]\int\limits_{1}^2$ mas, -3ln|x|u = -3(x - 2)ln|x| =-3x + 6ln|x|

Assim:

f(x)=(6ln|2|-6)-(6ln|1|-3)

Está tudo ok?
Acho que saquei o que eu estava errando. A volta da substituição de u para x, estava a fazer toda vez a volta para x com as parênteses e acaba por pensar que tinha distributiva aonde nada havia.

por **DanielFerreira** » Dom Set 07, 2014 21:35

Olá Nícolas,
desculpe-me pela demora!

Fizeste u = x - 2

. Deverias ter substituído

por

, pois

.

Não podes "trabalhar" com as duas variáveis, já que aplicou substituição simples. O "x" deveria ter dado lugar ao "u"!

$\\ f(x) = \int_{1}^{2} \frac{6 - 3x}{x} dx \\\\\\ f(x) = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} - \frac{3x}{x} dx \\\\\\ f(x) = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{3\cancel{x}}{\cancel{x}} dx \\\\\\ f(x) = 6 \cdot \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx - 3 \cdot \int_{1}^{2} dx \\\\\\ f(x) = 6 \cdot \left[ \ln x \right]_{1}^{2} - 3 \cdot \left[ x \right]_{1}^{2} \\\\ (...)$

Agora é contigo, se não conseguires, retorne!