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[Trigonometria] soma de cossenos

[Trigonometria] soma de cossenos

Mensagempor blaze » Ter Jun 03, 2014 15:43

Olá.
Estava a estudar equações trigonométricas quando me lembrei de uma questão. Resolver equações do tipo \cos \alpha=1 é fácil, mas quando há mais do que um cosseno, por exemplo,

\cos (\frac{\alpha}{2}) +2\cos (\frac{\pi-\alpha}{2})=1
o problema fica mais difícil. Andei à procura pela net mas não encontro nada que me explique esta última equação; alguém me pode ajudar/ensinar?
blaze
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Re: [Trigonometria] soma de cossenos

Mensagempor DanielFerreira » Ter Jun 03, 2014 20:46

Blaze, a princípio, acho que podes aplicar \cos (a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b.
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Re: [Trigonometria] soma de cossenos

Mensagempor blaze » Ter Jun 03, 2014 20:52

Isso iria dar-me uma outra igualdade mais complicada de resolver: 1-\cos \frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}
blaze
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Re: [Trigonometria] soma de cossenos

Mensagempor DanielFerreira » Ter Jun 03, 2014 20:56

\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \cos \left ( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha }{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \left ( \cos \frac{\pi }{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\pi }{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \left ( 0 \cdot \cos \frac{\alpha}{2} + 1 \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \sin \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1


Sabemos que \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + \sin^2 \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1

Resolva o sistema,

\begin{cases} \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \sin \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\ \cos^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + \sin^2 \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1\end{cases}

Espero ter ajudado!
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Re: [Trigonometria] soma de cossenos

Mensagempor blaze » Ter Jun 03, 2014 21:29

Sim, é isso mesmo. Vai dar um ângulo do 2ºQ mas temos que igualar ao 3ºQ por causa da geometria do círculo trigonométrico.

Obrigado
blaze
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Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?