[trigonometria] Exercício

por **fff** » Qua Abr 02, 2014 06:42

Boa tarde. Tenho dúvidas neste exercício nas duas alíneas. Na alínea e a resposta é $[1,1+\frac{3\sqrt{3}}{4}]$ .
Em relação à alínea e, fiz assim:
$f(x)=1+|2sin(2x+\frac{\Pi }{3})cos^2(x+\frac{\Pi }{6})|$
$f(\frac{5\Pi }{6})=1$
$f(\frac{\Pi }{6})=1+|2sin(2*\frac{\Pi }{6}+\frac{\Pi }{3})cos^2(\frac{\Pi}{6}+\frac{\Pi }{6} )|=1+|2sin(\frac{2\Pi }{3})cos^2(\frac{\Pi }{3})|=1+|2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{1}{4}|=1+|\frac{\sqrt{3}}{4}|$
Imagem

por **e8group** » Qua Abr 02, 2014 10:19

Bom dia !

Segestão :

a)

Note que $sin(2 \zeta) = 2 sin(\zeta) \cdot cos(\zeta)$ (Basta desenvolver sin(a+b) =sin(a)cos(b) + sin(b)cos(b) para o caso em que a=b) para qualquer $\zeta$ .

Agora 4x = 2(2x)

e assim ,

. Logo teremos

sin(2x) + sin(4x)/2 = sin(2x) + sin(2x)cos(2x) = sin(2x)[1 + cos(2x)] (*)

.

Mas , sabemos que cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

.

Usando a fórmula acima tente mostrar que 1+cos(2x) = 2 cos^2 x

.

e)

vc desenvolveu corretamente , agora lembre-se que $|\sqrt{3}/4| = \sqrt{3}/4$ e além disso

f(x) se relaciona por 1 + "número positivo" , quando este número "positivo" for máximo , f(x) também será . Analogamente, quando este "número positivo" for mínimo , f(x) tbm será . Ora, então para qualquer ponto

do domínio de $f ( \forall x \in Dom(f) )$ , teremos

$f(x) \geq 1$ e $f(x) \leq 1 + \sqrt{3}/4 \therefore Im(f) \subset [1 ,1 + \sqrt{3}/4 ]$ . O contradomínio de f é qualquer conjunto que contém o intervalo acima , podendo ser o próprio intervalo .

por **fff** » Qua Abr 02, 2014 10:33

Obrigada pela explicação!!
Eu tenho a fórmula do cos(2x)

:

Então:

sin(2x)[1+cos(2x)]=sin(2x)[1+cos^2x-sin^2x]=sin(2x)[1-sin^2x+cos^2x]=sin(2x)[cos^2x+cos^2x]=sin(2x)[2cos^2x]=2sin(2x)cos^2x

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