[Cálculo] Integral

por **Pessoa Estranha** » Dom Jan 12, 2014 16:15

Olá, pessoal! Estou com problemas no seguinte exercício:

"CALCULE O VOLUME DO SÓLIDO OBTIDO PELA ROTAÇÃO, EM TORNO DO EIXO X, DO CONJUNTO DE TODOS OS PARES (X,Y) TAIS QUE:

H) $0\leq Y\leq X$ E ${X}^{2}+{Y}^{2}\leq 2$ ."

Minha resolução:

$\int_{0}^{\sqrt[]{2}} \pi (2-{x}^{2})dx = 2.\sqrt[]{2}\pi - \frac{2.\sqrt[]{2}\pi}{3} = \frac{4.\sqrt[]{2}\pi}{3}$

Está errado. Por que?

Obrigada! (Pessoal, é urgente!)

por **Guilherme Pimentel** » Seg Jan 13, 2014 00:09

Se eu entendi direito, vc tem duas regiões, logo tem q dividir a integral em duas:

: Região Plana; região plana.jpg (11.27 KiB) Exibido 2536 vezes

$V=\pi \int_{0}^{1}x^2dx+\pi \int_{1}^{\sqrt{2}}(2-x^2)dx = \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1) \pi$

por **Pessoa Estranha** » Ter Jan 14, 2014 09:07

A sua resolução está certa, mas por que a minha não deu certo?

Obrigada por responder!

por **Guilherme Pimentel** » Qua Jan 15, 2014 04:48

Vc considerou que toda a função a ser integrada era a circunferencia, ignorou a parte que é reta. Dito de outra forma, vc calculou o volume de um hemisferio de raio $r = \sqrt{2} \rightarrow V=\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 =\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot\sqrt{2}$

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 15, 2014 09:13

Entendi! Obrigada! :y:

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