Sejam
subespaços vetorias .Prove :(1) O subespaço gerado pela união
é o conjunto 
das somas 
,onde 
.OBS.:
Para mostrar que O subespaço gerado pela união
é subconjunto de mostrei de duas formas que ,são 
e 
.A demonstração que é subconjunto do subespaço gerado pela união encontra-se no item 
. Minha solução :
Seja
o subespaço gerado pela união de subespaços de 
.Vamos denotar por 
. Consideremos
e 
conjunto de índices quaisquer satisfazendo ,
. Como
,temos que todos seus vetores são combinações lineares dos elementos de 
.Em particular , se 
satisfazendo , 
com 
.Pela hipótese de
e serem subespaços de ,obtemos que 
.Assim , tomando-se 
e 
, por 
. Resulta ,
com . Assim ,
. .Reciprocamente ,tomando-se
quaisquer em com 
,pela hipótese de gerar ,resulta que 
.Como estamos trabalhando com vetores genéricos , segue que 
.Por 
, 
. Estou com pouco tempo para postar o item (a_2) .
por