[Subespaço Vetorial] Exercício .

por **e8group** » Sex Jun 14, 2013 22:21

Poderiam corrigir minha solução por favor .Gostaria de sugestões .

Sejam $F_1, \hdots , F_k \subset E$ subespaços vetorias .Prove :

(1) O subespaço gerado pela união $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ é o conjunto $F_1 + \hdots + F_k$ das somas $x_1 + \hdots + x_k$ ,onde $x_1 \in F_1 , \hdots , x_k \in F_k$ .

OBS.:

Para mostrar que O subespaço gerado pela união $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ é subconjunto de $F_1 + \hdots + F_k$ mostrei de duas formas que ,são (a_1)

e

.A demonstração que $F_1 + \hdots + F_k$ é subconjunto do subespaço gerado pela união $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ encontra-se no item (b)

.

Minha solução :

(a_1)

Seja

o subespaço gerado pela união $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ de subespaços de

.Vamos denotar

por $S(F_1 \cup \hdots \cup F_k)$ .

Consideremos $L =\{1,\hdots ,k\}$ e

conjunto de índices quaisquer satisfazendo ,

$u = \sum_{j\in H} \beta_j z_j \hspace{10mm} \forall u \in M = S\left( \bigcup_{i\in L} F_i\right), \forall z_j \in \bigcup_{i\in L} F_i , \forall \beta_j \in \mathbb{R}$ .

Como $M:=S(F_1 \cup \hdots \cup F_k)$ ,temos que todos seus vetores são combinações lineares dos elementos de $\bigcup_{i\in L} F_i$ .Em particular , se $v_1, \hdots ,v_k \in M \implies \exists \alpha_{ij} \in \mathbb{R}$ satisfazendo ,

$v_{i} = \sum_{j\in H}\alpha_{ij} y_{ji} , \hspace{10mm} \forall i \in L , y_{ji} \in \bigcup_{i\in L} F_i$ com $y_{ji} \in F_i$ .

Pela hipótese de

e $F_1, \hdots , F_k \subset E$ serem subespaços de

,obtemos que

$\sum_{i\in L} v_i \in M , \alpha_{ij} y_{ji} \in F_i \implies \sum_{j\in H} \alpha_{ij} y_{ji} \in F_i , \forall i$ .Assim , tomando-se $v=\sum_{i\in L} v_i$ e $x_i = \sum_{j\in H} \alpha_{ij} y_{ji}$ , por

$\sum_{i\in L} v_i = \sum_{i\in L} \sum_{j\in H} \alpha_{ij} y_{ji}$ .

Resulta ,

$v = \sum_{i\in L} x_i = x_1 + \hdots + x_k$ com $x_1 \in F_1 , \hdots , x_k \in F_k$ .

Assim , $M:=S(F_1 \cup \hdots \cup F_k) \subset F_1 + \hdots + F_k$ .

(b)

.

Reciprocamente ,tomando-se x_i

quaisquer em $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ com $x_i \in F_i , \forall i \in L$ ,pela hipótese de $F_1 \cup \hdots \cup F_k$ gerar

,resulta que $\sum_{i \in L} x_i \in M$ .Como estamos trabalhando com vetores genéricos , segue que $F_1 \cup \hdots \cup F_k \subset M$ .Por (a_1),(b)