[Limite] Limites notáveis -->compreender a propriedade usada

por **Nicolas1Lane** » Qua Set 25, 2013 20:11

$\underset{x\rightarrow \ 1 }{\lim }\dfrac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x^{2}-1}$

Alguém saberia a partir da proposição inicial me informar a propriedade que foi usada de cálculo no numerador para se chegar a...

$\underset{x\rightarrow \ 1 }{\lim }\dfrac{(e^{x-1}-1)-(a^{x-1}-1)}{(x+1)(x-1)}$

Estou aprendendo limites fundamentais por conta própria e não tenho certeza do raciocínio usado no livro para chegar a este estado.
Alguém poderia me dar uma dica?
Valeu.

por **Leticia_alves** » Qua Set 25, 2013 20:36

Nicolas1Lane escreveu: $\underset{x\rightarrow \ 1 }{\lim }\dfrac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x^{2}-1}$
= $\underset{x\rightarrow \ 1 }{\lim }\dfrac{(e^{x-1}-1)-(a^{x-1}-1)}{(x+1)(x-1)}$

Bom, quando trabalhamos com limites, normalmente o primeiro passo que damos é tentar "fatorar" o limite, para que fique mais fácil de se trabalhar e enxergar o que acontece. E foi isso o que aconteceu com o limite acima.

No numerador, foi somado (-1) à todos os membros. Repare que -1-(-1)=0, então o que foi acrescentado no numerador, não altera em nada a função.Mas lembre-se de que quando utilizar esta "ferramenta", deve ser em todos os membros, senão a função original será alterada e, com isso, o resultado será alterado. E no denominador, houve a decomposição do número do número,onde (x+1)(x-1) = x² - x + x - 1 = x²+1. Repare que foi empregada a propriedade da distributiva.
Essas são ferramentas muito usadas no estudo de limites. Aconselho você pegar mais exemplos de exercícios de limites. Pois quanto mais fizer, mais fácil ficará e, no final, você utilizará esses "macetes" sem perceber.

Espero ter ajudado!
Abraços