[Aritmética] Equação Exponencial.

por **Pessoa Estranha** » Seg Ago 26, 2013 18:16

Olá Pessoal, gostaria que me ajudassem com este exercício: ${4}^{x}+{6}^{x}=2.{9}^{x}$ .

Tentei o seguinte:

${(2.2)}^{x}+{(2.3)}^{x}=2.{(3.3)}^{x}\rightarrow {2}^{2x}+{2}^{x}.{3}^{x}=2.{(3)}^{2x}$

${2}^{x}.({2}^{x + {3}^{x}})=2.{(3)}^{2x}$ .

Contudo, não consigo chegar à um resultado.

Obrigada!

por **Russman** » Seg Ago 26, 2013 18:43

Eu sugiro que você aplique o logaritmo para transforma a equação.

$4^x + 6^x = 2.9^x \Rightarrow x \ln(4) + x \ln(6) = \ln(2) + x \ln(9)$

Disso,

$x( 2 \ln(2) + \ln(2) + \ln(3) - 2\ln(3)) = \ln(2)$
$x (3 \ln(2) - \ln(3)) = \ln(2)$
$x = \frac{\ln(2)}{3 \ln(2) - \ln(3)}$

A base do logaritmo é livre.

por **Luis Gustavo** » Seg Ago 26, 2013 19:04

Russman escreveu:Eu sugiro que você aplique o logaritmo para transforma a equação.

$4^x + 6^x = 2.9^x \Rightarrow x \ln(4) + x \ln(6) = \ln(2) + x \ln(9)$

Disso,

$x( 2 \ln(2) + \ln(2) + \ln(3) - 2\ln(3)) = \ln(2)$
$x (3 \ln(2) - \ln(3)) = \ln(2)$
$x = \frac{\ln(2)}{3 \ln(2) - \ln(3)}$

A base do logaritmo é livre.

Mas existe uma maneira muito mais simples, Russman.

$4^x+6^x=2\cdot9^x$
$(2^2)^x+(2\cdot3)^x=2\cdot(3^2)^x$
$2^{2x}+2^x\cdot3^x=2\cdot3^{2x}$

Dividimos toda a equação por $3^{2x}$ , obtendo:

$\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}}+\dfrac{2^x\cdot3^x}{3^{2x}}=\dfrac{2\cdot3^{2x}}{3^{2x}}$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=2$

Fazendo $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=y$ , vem:

y^2+y=2

$y=1\text{ ou }y=-2$

A segunda solução não convém. Da primeira, vem que:

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\dfrac{2}{3}\right)^0\Rightarrow x=0$

Resolvido (: