[Integral Imprópria - Convergência/Divergência]

por **e8group** » Sáb Ago 03, 2013 20:39

Na minha opinião está incorreto a primitiva postada . O correto é :

$\frac{ln|2t-5|}{2} + c$ .

Quando $p\to -\infty , |2p-5|\to+\infty$ , logo $ln|2p-5|/2 \to+\infty$ . Por outro lado , quando
t=0 , ln|2t-5|/2 = ln5/2

.

Agora tente concluir .

por **raimundoocjr** » Sáb Ago 03, 2013 22:02

A ideia foi a seguinte:
$\int_{}^{}\frac{1}{2t-5}=\frac{1}{2}[ln(2t-5)]+constante$
$\int_{p}^{0}\frac{1}{2t-5}=[\frac{1}{2}(ln(2t-5))]_{p}^{0}$
$\int_{a}^{b}\frac{1}{2t-5}=[\frac{1}{2}(ln(2t-5))]_{a}^{b}$

Vou fazer um exemplo simples abaixo:
Resolver $\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$ .
$\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{2}^{n}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{n\rightarrow\infty}[-\frac{1}{x}]_{2}^{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}$
Limite de uma constante é a própria constante:
Resposta: $\frac{1}{2}$ , convergente.

O raciocínio foi assim:
$\frac{}{}\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2t-5}dt=\lim_{p\rightarrow-\infty}\int_{p}^{0}\frac{1}{2t-5}dt=\lim_{p\rightarrow-\infty}[\frac{1}{2}(ln(2t-5))]_{p}^{0}$

"Continuando absurdamente":
$\lim_{p\rightarrow-\infty}[\frac{1}{2}(ln(2t-5))]_{p}^{0}=\lim_{p\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}(ln(2\bullet0-5))-\lim_{p\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}(ln(2\bullet p-5))$

por **e8group** » Dom Ago 04, 2013 00:09

Na minha opinião da forma que você primitivou não é possível o estudo do comportamento do mesmo lá em $-\infty$ da mesma forma que tal primitiva aplicada em t = 0 (pois ,quando t = 0 ;2t -5 = -5 < 0) , uma vez que o conjunto domínio da função logarítmica é $(0,+\infty)$ .Agora ,sendo :

$\int \frac{1}{2t-5} dt = \frac{ln|2t-5|}{2} + c$ . Temos que :

$\lim_{p\to -\infty} (\frac{ln|2\cdot 0-5|}{2} + c - \frac{ln|2p-5|}{2} - c ) = ln5/2 - \lim_{p\to -\infty} \frac{ln|2p-5|}{2}$ ...

Consegue terminar agora .

por **raimundoocjr** » Dom Ago 04, 2013 12:03

Valeu. Ficou mais claro agora.

por **e8group** » Dom Ago 04, 2013 12:26

Veja que interessante :

$D_t ln|t| = 1/t , \forall t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .De fato se poremos $|t| = max\{t,-t\}$ e definimos $t\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\overset{g}{\longmapsto} g(t) = max\{t,-t\} \in \mathbb{R}$ , temos que pela regra da cadeia :

$D_t ln|t| = (ln|t|)' = (ln(g(t)))' = ln'(g(t)) \cdot g'(t) = \frac{g'(t)}{g(t)}$ . Ora se t > 0