[plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

por **Flordelis25** » Sex Ago 02, 2013 19:29

Oi pessoal (:
Bom já tentei achar o k, mas minha resposta não bate com a do gabarito que é 4 + 6?5

Na figura a seguir, os pontos A,B e C são colineares. Determine o valor de k sabendo que a área do triângulo BCD é 36.

A imagem do exercício está em anexo.

Obrigada (:

por **e8group** » Sex Ago 02, 2013 22:44

Analisando a figura anexada , não sei você observou , mas o segmento

é perpendicular a

e portanto constitui uma altura do triângulo retângulo ABC relativa a base BC . Designando d(C,D)

a distância do ponto C até o ponto D , temos que a área deste triângulo retângulo (que é 36 unidades de área ) será dada por :

$d(C,D) \cdot d(B,C) /2 =36$ (1) . E como determinar o ponto C ?

Te dou uma dica para concluir , os pontos A,B,C são colineares , então determinado a equação da reta pelos pontos A, B dados você determinar o ponto C .

Outra forma mais simples (ou talvez não ).

Seja $\theta$ o ângulo entre o segmento BC e BD (note também que tal ângulo é a inclinação da reta que passa por A,B [/tex] ) . Por trigonometria ,

$sin \theta = \frac{d(C,D)}{d(B,D)} = \frac{d(C,D)}{\sqrt{(k-4)^2}} = \frac{d(C,D)}{k-4}$ .

Além disso ,

o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A,B é dado por :

$tan\theta = \frac{0 -(-2)}{4-0} = \frac{1}{2} = \frac{sin\theta}{cos\theta}$

Logo ,

$cos\theta = 2 sin\theta$

Elevando ambos membro ao quadrado e utilizando a identidade trigonométrica fundamental $sin^2 \theta + cos^2 \theta =1$ temos :

$1 - sin^2\theta = 4 sin^2\theta$

Resolvendo a eq. do segundo grau para $sin\theta > 0$ obteremos a distancia do ponto C a D que é :

$(k-4) sin\theta = d(C,D)$

e portanto pela equação (1) encontraremos k que satisfaça a igualdade ..Espero que ajude .

por **Flordelis25** » Sáb Ago 03, 2013 21:53

santhiago escreveu:Analisando a figura anexada , não sei você observou , mas o segmento é perpendicular a e portanto constitui uma altura do triângulo retângulo ABC relativa a base BC . Designando a distância do ponto C até o ponto D , temos que a área deste triângulo retângulo (que é 36 unidades de área ) será dada por :

$d(C,D) \cdot d(B,C) /2 =36$ (1) . E como determinar o ponto C ?

Te dou uma dica para concluir , os pontos A,B,C são colineares , então determinado a equação da reta pelos pontos A, B dados você determinar o ponto C .

Outra forma mais simples (ou talvez não ).

Seja $\theta$ o ângulo entre o segmento BC e BD (note também que tal ângulo é a inclinação da reta que passa por A,B [/tex] ) . Por trigonometria ,

$sin \theta = \frac{d(C,D)}{d(B,D)} = \frac{d(C,D)}{\sqrt{(k-4)^2}} = \frac{d(C,D)}{k-4}$ .

Além disso ,

o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A,B é dado por :

$tan\theta = \frac{0 -(-2)}{4-0} = \frac{1}{2} = \frac{sin\theta}{cos\theta}$

Logo ,

$cos\theta = 2 sin\theta$

Elevando ambos membro ao quadrado e utilizando a identidade trigonométrica fundamental $sin^2 \theta + cos^2 \theta =1$ temos :

$1 - sin^2\theta = 4 sin^2\theta$

Resolvendo a eq. do segundo grau para $sin\theta > 0$ obteremos a distancia do ponto C a D que é :

$(k-4) sin\theta = d(C,D)$

e portanto pela equação (1) encontraremos k que satisfaça a igualdade ..Espero que ajude .

Santhiago, seguinte. Fiz o que vc disse, usei o primeiro método, para mim o mais fácil. Utilizando os pontos A e B, por determinante achei a equação -x+2y+4=0

.
O ponto C seria (1,-2)

?

Tentei resolver por esse ponto, a distência d(C,D)=k+3

e $d(B,C)= \sqrt[2]{29}$ . Está certo isso?

Obrigada pela ajuda

por **e8group** » Sáb Ago 03, 2013 23:47

Avaliarei sua resposta a seguir .Entretanto vale ressaltar que há uma forma mais simples de resolver este exercício .Já notou que os triângulos retângulos OAB e CBD são semelhantes ? Pois bem , podemos usar então que

$\frac{d(O,A)}{d(O,B)} = \frac{d(C,D)}{d(B,C)}$

Sendo d(O,A) = 2 (u.c)

e

obtemos que :

2d(C,D) = d(B,C)

.

Podemos substituir este resultado na expressão que fornece a área do triângulo retângulo CBD que é $\frac{d(C,D)d(B,C)}{2} =36$ ,obtendo

[d(C,D)]^2 = 36

e portanto d(C,D) = 6 (u.c)

. Daí ,

. Agora pelo terorema de Pitágoras ,

d(B,D)^2 = d(C,D)^2 +d(C,B)^2

. Tente concluir a parti daqui .

Respondendo a sua resposta agora .

A equação que você encontrou -x + 2y + 4 = 0

corresponde a eq. da reta que passa pelos pontos A,B (está correto verifiquei ) . Em relação ao ponto (1,-2) ,ele não pertence a reta em questão . Pois as coordenadas deste ponto não satisfaz a eq. desta reta ,

$-(1) + 2(-2) + 4 = - 1 \neq 0$ ,logo descartamos a possibilidade do ponto C ser ele .

por **Flordelis25** » Seg Ago 05, 2013 21:39

Olá Santhiago! Como tem passado?

Eu tinha pensando nesse jeito por semelhança de triângulo, mas estava com receio de usá-lo. Bem, a questão é que eu fiz o que vc disse. Terminei Pitágoras e achei que $d(B,D) = \sqrt[]{210}$ .
Ok, até aí tudo bem. Joguei na fórmula da distância e achei que:

${d(B,D)}^{2} = {(Xd - Xb)}^{2}+ {(Yd - Yb)}^{2} {d(B,D)}^{2} = {(K-4)}^{2} + {(0-0)}^{2} {(\sqrt[]{210})^{2} = {(K-4)}^{2} 210 = {K}^{2} -8K + 16 {K}^{2} - 8K - 194 = 0$

Ok, eis que \Delta = 840. Então fiz Bhaskara só que está dando

$k' = 8 + 2 \sqrt[]{210}/2 k'' = 8 - 2 \sqrt[]{210}/2.$

Agora ou eu fiz uma coisa muito errada ou essa $\sqrt[]{210}$ gostou tanto da minha burrice que resolver ficar aí, rindo da minha cara ( piadinha sem-graça eu sei kkk).
Falando sério, o que eu fiz de errado? Já estou ficando louca com esse exercício que estou pensando seriamente em abolir a letra k do meu alfabeto.

Agradeço desde já e desculpa por tomar seu tempo.

por **e8group** » Seg Ago 05, 2013 22:00

Tudo certo . Na verdade é falta de prática mas não desista ! Observe ,

2d(C,D) = d(B,C)

(lembra que obtemos este resultado por semelhança de triângulos )

Substituindo o resultado acima em ,

d(B,D)^2 = d(C,D)^2 + d(C,B)^2

(Esta igualdade decorre do Teorema de Pitágoras ) . Segue ,

d(B,D)^2 = d(C,D)^2+ [2d(C,D)]^2 =d(C,D)^2+ 4d(C,D)^2 = 5 d(C,D)^2

.

Assim ,

$d(B,D) = \sqrt{5 d(C,D)^2} = \sqrt{5} \cdot d(C,D)$ .

Por outro lado ,

d(B,D) = k- 4

(porque ? ) . Então :

$k-4 = \sqrt{5} \cdot d(C,D)$

e portanto :

$k = 4 + \sqrt{5} \cdot d(C,D)$ .Lembrando que d(C,D) = 6

(revise o tópico que encontramos este resultado ) obtemos finalmente $k=4 + 6\sqrt{5}$ .

OBS.: Recomendo que refaça este exercício para aprender a desenvolver .

por **Flordelis25** » Ter Ago 06, 2013 18:04

Hummm entendi. Eu não poderia ter feito direto. Tinha que ter "simplificado" mais.

Vou refazer esse exercício de novo, sem olhar a resolução para ver se peguei o raciocínio. Sabe como é, quando se estuda para o vestibular, matemática se torna o pesadelo rsrsr

De qualquer forma, obrigada mesmo pela ajuda Santhiago e desculpa ter tomado seu tempo com minhas perguntas, mas o professor do meu cursinho complica demais as coisas.

Obrigada mais uma vez