[Integral] como calcular

por **ghiza** » Seg Jul 15, 2013 11:23

$\int \frac{dx}{x^2+6x+13}$

chegei em $\int \frac{dx}{(x+3)^2+2^2}$

u=x+3
logo, $\int \frac{du}{(u+2)^2}$

t=u+2
$\int \frac{dt}{t^2}$

$\int \frac{t^-^2 dt}$

$\int {t^-^2 dt}= -\frac{t^-^1}{1} +c$

agora substituindo
-(x+5)^-^1+c

isso está correto?

por **e8group** » Seg Jul 15, 2013 12:36

Só compreendi a primeira parte que você completou quadrados (parte esta correta ) .As outras partes não compreendi devido ao erro com LaTeX . A motivação de completar quadrados e utilizar substituição simples é o fato da composição de funções . Observando o integrando já podemos dizer que a resposta da integral terá o formato $arctan(g(x)) + k ,k\in \mathbb{R}$ onde g é uma função que vamos determinar ( Nota : $(arctan(g(x)) + k )' = \frac{g'(x)}{1+g^2(x)}$ ) .

Usando que x^2 + 6x +13 = (x+3)^2 + 4

e deixando

em evidência ,segue :

$x^2 + 6x +13 = 4 (\frac{(x+3)^2}{4} + 1) = 4 \left( \left(\frac{x+3}{2}\right)^2 +1 \right)$ .

Agora a substituição simples $u = \frac{x+3}{2}$ resolve o problema .