[Derivadas Segundas] Duas variaveis

por **fabriel** » Dom Jun 23, 2013 01:32

E ai pessoal, estou na duvida nesse exercicio... Vejam:

Se w=f(x,y), em que $x={e}^{r}cos\theta$ e $y={e}^{r}sin\theta$ , mostre que,

$\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}={e}^{-2r}\left(\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}} \right)$

Resolvendo.... Sei que..

$\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}} \frac{{\partial}^{2}x}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}} \frac{{\partial}^{2}y}{{\partial}r^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}{e}^{r}cos\theta+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}{e}^{r}sin\theta$

e

$\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}} \frac{{\partial}^{2}x}{{\partial}\theta^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}} \frac{{\partial}^{2}y}{{\partial}\theta^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}(-{e}^{r}cos\theta)+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}(-{e}^{r}sin\theta)$

E quando vou somar a expressão $\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}}$ vai zera:

Onde eu errei nos calculos?

por **young_jedi** » Dom Jun 23, 2013 11:54

Na verdade você tem que

$\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial x}.\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$

calculando a derivada segunda teremos que

$\frac{\partial^2 w}{\partial r^2}=\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}.\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.\frac{\partial y}{\partial r}\right).\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial^2 x}{\partial r^2}+ \left(\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}.\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.\frac{\partial x}{\partial r}\right).\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial^2 y}{\partial r^2}$

para teta é a mesma coisa, comente se tiver duvidas

por **fabriel** » Dom Jun 23, 2013 13:50

hummm obrigado aiestou começando a compreender essa passagem.

Mas a minha duvida é em relação a essa expressão por exemplo:

$\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.$

Como ficaria essa expressão?

por **young_jedi** » Seg Jun 24, 2013 18:52

como não sabemos qual é a relação de w com x e y, não tem como calcular essa parcela
mais repare que esta parcela aparece duas vezes na expressão, o esperado é que ao substituir os valores das demais derivadas parciais e fazendo a soma com a derivada parcial com relação a teta você consiga cancelar essas duas parcela.