Duvida Geometria

por **Lana** » Qua Abr 24, 2013 20:28

(CEFET-MG)Segundo Semestre Graduação 2012
A figura abaixo representa o triângulo ABC e o paralelogramo AMOR
de áreas, respectivamente S1 e S2,
Imagem

Gabarito: $S2=\frac{4}{9}S1$
Obrigado!

por **DanielFerreira** » Qui Abr 25, 2013 18:57

Lana,
boa tarde!

: triang.png (15.93 KiB) Exibido 3378 vezes

Tentei representar a altura do $\Delta CRO$ por

A altura do $\Delta ABC$ por

. Portanto, a altura do paralelogramo é dada por (H - h')

.

Como $\overline{RO} // \overline{AB}$ , temos:

$\\ \frac{\overline{CR}}{\overline{CA}} = \frac{h'}{H} \\\\\\ \frac{x}{3x} = \frac{h'}{H} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{h'}{H} \\\\ \boxed{H = 3h'}$

Enfim, encontremos as áreas:

- S_1:

$\\ S_1 = \frac{b \times h}{2} \\\\\\ S_1 = \frac{3z \times H}{2} \\\\\\ z \times H = \frac{2 \cdot S_1}{3} \\\\\\ z \times 3h' = \frac{2 \cdot S_1}{3} \\\\\\ \boxed{z \times h' = \frac{2 \cdot S_1}{9}}$

- S_2:

$\\ S_2 = b \times h \\\\ S_2 = z \times \left ( H - h' \right ) \\\\ S_2 = z \times 2h' \\\\ \boxed{z \times h' = \frac{S_2}{2}}$

Igualando-as...

$\\ \frac{2 \cdot S_1}{9} = \frac{S_2}{2} \\\\ 9 \cdot S_2 = 4 \cdot S_1 \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{S_2 = \frac{4 \cdot S_1}{9}}}}$