[DERIVADA] FORMA PARAMÉTRICA

por **fabriel** » Qui Abr 25, 2013 17:43

E ai Pessoal blz?
Então estou em duvida nesse exercicio.
-- Calcular a derivada $y'=\frac{dy}{dx}$ da seguinte função definida na forma paramétrica. Para quais valores de t, y' está definida?
Essa é a função dada na forma paramétrica:
x=cos (2t)

e isso para $t\in\left[0,\frac{\pi}{2} \right]$

Calculei a derivada e deu:
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{d(sen(2t))}{dt}}{\frac{d(cos(2t))}{dt}}=\frac{2cos2t}{-2sen2t}=-\frac{cos2t}{sen2t}=-cotg 2t$

A minha duvida é nessa questão, como é que vou colocar $\frac{dy}{dx}$ em função de x?

e mesmo se eu conseguir colocar, para quais valores de t, y' está definida, sendo que coloquei $\frac{dy}{dx}$ em função de x?

por **e8group** » Qui Abr 25, 2013 21:24

Pensei de outra forma :

Pela regra da cadeia ,temos :

$\frac{dy}{dx} = \frac{dsin(2t)}{dx} = \frac{dsin(2t)}{d(2t)} \cdot \frac{d(2t)}{dx} = 2 cos(2t) \cdot \frac{dt}{dx} = 2x \cdot \frac{dt}{dx}$ .

Mas , $\frac{d cos(2t)}{dx} = \frac{d(cos(2t)}{d(2t)}\cdot \frac{d(2t)}{dx} = -2sin(2t) \cdot \frac{dt}{dx}= -2y \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1$ .

Para $y\neq 0$ podemos isolar D_x t

,

$\frac{dt}{dx} = \frac{-1}{2y}$ .

Daí ,

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (Que é o que vc achou).

Mas pela identidade trigonométrica ,temos sin^2(2t) = 1 -cos^2(2t) = 1 -x^2

.E como ,

$y = sin(2t) > 0 \forall t \in (0,\pi/2)$ ,

resulta

$y = sin(2t) = \sqrt{1-x^2}$ .

Assim ,

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} , x\in (0,1)$ .

Se não errei algum cálculo acredito que seja isto .

Obs.: Da forma que vc fez está certo também ,só há um problema no intervalo $[0,\pi/2]$ há dois valores que cot(2t)