[Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática

por **Prof Prevaricador** » Dom Abr 14, 2013 16:25

Olá, venho mais uma vez colocar uma questão que não consegui resolver...

Por recurso ao metodo de inducao matematica prove que:

$\sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n\right)}$

Já consegui provar o caso base n=1 que deu 1/35

Não consegui foi acabar de provar a Tese de Indução

$\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n+1}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n+1\right)}$

Pelos meus cálculos ficaria:

$\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}$

substituindo pela hipótese de indução

$= \frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}$

e empanquei aqui...

Podem ajudar-me a concluir este exercício?

Cumprimentos

por **e8group** » Dom Abr 14, 2013 17:02

Dica : Fazendo p = n+1

,podemos reescrever $\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k+3)(5+2k)} = \frac{n}{5(5+2n)} + \frac{1}{(2(n+1)+3)(5+2(n+1))}$ como

$\frac{p-1}{5(3+2p)} + \frac{1}{(2p +3)(5+2p)} = \frac{1}{2p+3}\left(\frac{p-1}{5} + \frac{1}{5+2p}\right ) = \frac{1}{2p+3}\left(\frac{(p-1)(5+2p) +5}{5(5+2p)} \right ) = \frac{1}{2p+3}\left(\frac{(p-1)(5+2p) +5}{5(5+2p)} \right )$ .

Mas , (p-1)(5+2p) +5 = p(5+2p) - (5+2p) + 5 = p(5+2p) - 2p = p(2p+3)

(p-1)(5+2p) +5 = p(5+2p) - (5+2p) + 5 = p(5+2p) - 2p = p(2p+3)

. Então ...

Consegue concluir ?

por **Prof Prevaricador** » Dom Abr 14, 2013 18:35

Já consegui concluir o exercício depois de ler as tuas indicações.

Mas consegui resolver pela expressaõ:

$=\frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}$

estava a reduzir mal ao mmc...

Obrigado pela ajuda Santhiago!!

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