Exercício {limite}

por **Danilo** » Qua Abr 10, 2013 23:16

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow+-\infty}\frac{\sqrt[]{x + \sqrt[]{x+ \sqrt[]{x}}}}{\sqrt[]{x+1}}$

A minha idéia inicial é multiplicar numerador e denominador por $\frac{1}{x}$ . Mas não sei o que fazer com o fato de ter uma raiz dentro da outra...

por **young_jedi** » Qui Abr 11, 2013 15:10

eu pensei da seguinte forma

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\frac{x}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\right)}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\frac{x}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}\right)}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+\frac{x}{x}}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=1$

no entanto isto so vale para x tendento para + infinito porque para - infinito não existe raiz de numeros negativos

por **Danilo** » Ter Abr 23, 2013 11:44

young_jedi escreveu:eu pensei da seguinte forma

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\frac{x}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\right)}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\frac{x}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}\right)}}{\sqrt{x+1}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x+\frac{x}{x}}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=1$

no entanto isto so vale para x tendento para + infinito porque para - infinito não existe raiz de numeros negativos

Valeu!!!! Entendi!!

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