Ajuda Matemática • Exibir tópico - [variação de funções] raiz real

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[variação de funções] raiz real

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[variação de funções] raiz real

por Erickvilela » Sex Fev 22, 2013 21:58

entao, estou tentando fazer uma questão do livro de guidorizzi de calculo I, entretanto não estou conseguindo
gostaria de pedir ajuda.

a questão é : Prove que a equação x^3 _ 3x^2 + 6 = 0 admite uma unica raíz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

como faço ?

Erickvilela: Novo Usuário; Mensagens: 3; Registrado em: Qui Fev 14, 2013 21:34; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Área/Curso: Engenharia; Andamento: cursando

Re: [variação de funções] raiz real

por e8group » Sex Fev 22, 2013 23:15

Boa noite ,já tentou analisar os intervalos de crescimento e de decrescimento de

através de

?
Após isto conclua então que pelo TVI existe um

em

[-2,-1]

tal que $f(c) = 0 \in [f(2),f(-1)]\subset D_f =\mathbb{R}$ (OBS.: f é contínua )

e8group: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1400; Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia Elétrica; Andamento: cursando

Re: [variação de funções] raiz real

por Erickvilela » Sex Fev 22, 2013 23:25

mas tipo, quando eu calculo f ' , vou ter:
3x^2 - 6x = 0, então x=2 e x=0, logo, os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

cresce em ]-? , 0] e [2, +?[ ; e decresce em [0,2], mas como encontro o intervalo das raízes ?

Erickvilela: Novo Usuário; Mensagens: 3; Registrado em: Qui Fev 14, 2013 21:34; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Área/Curso: Engenharia; Andamento: cursando

Re: [variação de funções] raiz real

por e8group » Sáb Fev 23, 2013 13:35

Considerando f(x) = x^3 -3x^2+ 6

f(x) = x^3 -3x^2+ 6

Temos

é estritamente crescente em $I_1 = ]-\infty ,0]$ e $I_2 =[2,+\infty[$ e decrescente I_ 3 = [0,2]

I_ 3 = [0,2]

.

Vamos verificar em cada intervalo I_1, I_2, I_3

I_1, I_2, I_3

se há pelo menos um

em algum deles tal que f(c) = 0

f(c) = 0

.

(1)

Como x^3

x^3

, o termo dominante, possui grau impar , $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$

e

como f(0) = 6 > 0

f(0) = 6 > 0

Assim ,existem a,b

a,b

tais que

f(a) < 0

e

f(b) > 0

.Como

é contínua (Porque ? ) ,pelo TVI existe $c \in [a,b] \subset I_1$ tal que $f(c) = 0 \in [f(a),f(b)]$ .

(2)

Como f(2) = 2 > 0

f(2) = 2 > 0

e $\lim_{x\to+\infty} f(x) = + \infty$ (Porque ?),concluímos que pelo TVI não existe

em

I_2

tal que

f(c) = 0

.

(3)

Segue de imediato de (1) e (2) que f(0)

f(0)

e

f(2)

são ambos postivos ,sendo assim, $0\notin [f(2),f(0)]$ , ou seja , não existe

em

[0,
2]

tal que

f(c) = 0

.

Conclusão :

admite uma única raiz real ,pois, como já mencionado acima

é estritamente crescente em I_1

I_1

.

$\blacksquare$

Para determinarmos o intervalo de amplitude 1 que contenha

,

veja que f(-2) < 0

f(-2) < 0

e

f(-1) > 0

;assim $\exists c \in [-2,-1] : f(c) = 0$ .

Espero que ajude .

Editado erro de digitação .

e8group: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1400; Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia Elétrica; Andamento: cursando

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
$2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*$
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois $2.1 \geq 1+1$
2°) Admitamos que $P(k), k \in \aleph*$ , seja verdadeira:
$2k \geq k+1$ (hipótese da indução)
e provemos que $2(k+1) \geq (K+1)+1$
Temos: (Nessa parte)
$2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1$

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

$2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}$

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

$2*1 \geq 1+1$

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que

seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1

k+1

.

$\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}$
$2k \geq k+1$

$\mbox{Vamos provar que:}$
$2(k+1) \geq (k+1)+1$

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: $2(k+1) \geq (k+1)+1$ , certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

$2k+2 \geq (k+1)+2$

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1)

2(k+1)

é $\geq$ a (k+1)+2

(k+1)+2

, e este por sua vez é sempre

que

(k+1)+1

, logo:

$2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}$

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D

:-D

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