[Números reais] Demonstração

por **+danile10** » Dom Fev 03, 2013 19:39

Mostre, utilizando propriedades básicas, que:

[/tex]

Eu tenho a resposta deste exercício, mas gostaria que me ajudassem a melhor compreendê-la:

Resposta: Por hipótese ax = a e como $[tex]a\neq0\, existe\, {a}^{-1}$
$Logo[tex]\, {a}^{-1}(ax) = x\,$ por um lado[/tex]
e por outro
$\,{a}^{-1}(ax)={a}^{-1}(a)\, = 1\,$ por outro.
$\,Logo\, x=1$

\,Não saberia reproduzir a resolução se me deparasse com este exercício
no futuro... Eu sei que é usada a propriedade de dado um número
$\,a\neq0\,$ ,este número possui inverso $[tex] \,{a}^{-1} \,tal\, que \,a . {a}^{-1} = 1\,$ [/tex]

Mas este começo $[tex]\, {a}^{-1} (ax)= x\,$ [/tex] me parece confuso...

por **e8group** » Dom Fev 03, 2013 20:02

Não conseguir visualizar a resposta .

Propriedade : Existência de inverso

Para todo real b $\neq 0$ ,existe um único real

tal que $b\cdot c = 1$ .Tal

denomina-se oposto de

, $c= b^{-1}$ .

Portanto ,

$a\cdot x = a , a\neq 0 \iff (a\cdot x )\cdot a^{-1} = a \cdot a^{-1} \iff x (a \cdot a^{-1} ) = 1 \iff x \cdot 1 = 1$ ou seja x = 1

.

por **e8group** » Dom Fev 03, 2013 20:18

Você não compreendeu $a^{-1} \cdot (ax) = x$ ?

Veja que : $x = 1 \cdot x$ (Existência de elemento neutro )

Mas , $1 = a\cdot a^{-1} , a \neq 0$ (Existência de inverso )

Disso concluímos que $x = (a\cdot a^{-1} ) x = a^{-1} (a\cdot x) = x$ (Associativa )

por **+danile10** » Dom Fev 03, 2013 21:14

Não entendi ainda como isso me ajuda a provar que Se ax = a, x = 1...

Não entendi ainda menos aquela por outro lado...

Na minha cabeça vejo assim:

Assumindo x=1, pela propriedade do inverso

a . a^-1 = 1, então x = a . a^-1

Logo ax = a é o mesmo que:
a (a.a^-1) = a

Não entendo como a conclusão com a associativa vai ajudar a resolver o exercício..., mas também não acho que o que eu esteja pensando
vá me ajudar a resolvê-lo...

por **e8group** » Seg Fev 04, 2013 20:50

Boa noite . Não pode assumir que x = 1 ,pois é extamente isto que deve demonstrar .

Antes de mostrarmos ,vamos ver alguns exemplos .

Qual o valor que x deve assumir ?

2x = 2

???

???

$a'x = a' \neq 0$ ???

Parece razoável dizer que x é igual a 1 em todos os casos acima ,não é verdade ? Mas, como mostrar ?

Vamos tentar desenvolver 2x = 2 .

Temos :

$x = x \cdot 1 = x\cdot \left(\frac{2}{2} \right) = (x\cdot 2 )\frac{1}{2} = 2x \cdot 2^{-1}$ .

Ora ,mas 2x = 2

então $2x \cdot 2^{-1} = 2 \cdot 2^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .

OBS.:Usamos todas as propriedades citadas no tópico acima .

Agora tente demonstrar que $ax = a , a \neq 0 \iff x = 1$ .

Comente qualquer dúvida .