[Derivada] Funciona para produto mas não para quociente?

por **Matheus Lacombe O** » Ter Dez 11, 2012 23:46

Olá pessoal!

- Pois bem, esta não é exatamente uma dúvida de um problema cuja resposta não consegui encontrar, mas sim uma curiosidade de minha pessoa. Meu professor lançou uma lista de exercícios de Regra da Cadeia e estou obcecado com um problema em particular, cuja resposta só consegui encontrar aplicando a Derivada do Produto mas não tive a mesma sorte aplicando a Derivada do Quociente. A questão é a seguinte:

Questão:

$f(x)=\frac{4}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}}$

Tentativa pelo produto:

$\frac{4}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}}=4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}$

$f(x)=4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}$

$f'(x)=4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}+{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}.4$

$=4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}$

Para:

$w=(3{x}^{2}-2x+1)$
w'=(6x-2)

$=4.{w}^{-3}.(6x-2)$

$=4.-3.{w}^{-4}.(6x-2)$

$=-12.{w}^{-4}.(6x-2)$

$=-12.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-4}.(6x-2)$

$=\frac{-12}{1}.\frac{1}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{4}}.\frac{(6x-2)}{1}$

$=\frac{-12.(6x-2)}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{4}}$

$=\frac{-72x+24}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{4}}$ - O que bate com a resposta do Microsoft Mathematics.

Tentativa por Quociente

$f(x)=\frac{4}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}}$

$f'(x)=\frac{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}.4'-4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}'}{{{((3{x}^{2}-2x+1)}^{3})}^{2}}$

$f'(x)=\frac{-4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}'}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{6}}$

Para:

$w=(3{x}^{2}-2x+1)$
w'=(6x-2)

$f'(x)=\frac{-4.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}'}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{6}}$

$f'(x)=\frac{-4.{w}^{3}'.(6x-2)}{{w}^{6}'.(6x-2)}$

$f'(x)=\frac{-4.3.{w}^{2}}{6.{w}^{5}}$

$f'(x)=\frac{-12.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{2}}{6.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{5}}$

$f'(x)=\frac{-2.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{2}}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{5}}$

$f'(x)=-2.{(3{x}^{2}-2x+1)}^{-3}$

$f'(x)=-2.\frac{1}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}}$

$f'(x)=\frac{-2}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{3}}$ - O que não bate nem com a resposta do Microsoft Mathematics, nem com a do gabarito.

Gabarito

$=\frac{-72x+24}{{(3{x}^{2}-2x+1)}^{4}}$ (Microsoft Mathematics) ou

$\frac{24(1-3x)}{4\sqrt[]{x}.\sqrt[]{4+3}.\sqrt[]{x}}$ (Professor)

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Obrigado, desde já, pela atenção que sempre retribuem neste fórum. Abraços.
Ass: Matheus L. Oliveira.

por **Russman** » Qua Dez 12, 2012 01:39

Repare que a sua função é do tipo

$f(x) = \frac{4}{g(x)}$ .

Assim, podemos derivá-la usando a Regra do Quociente. Esta diz que : $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{u}{v} \right ) = \frac{v\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x}-u\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}}{v^2}$

Tomando u=4

e

, temos:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x) = \frac{(3x^2-2x+1)^3.\frac{\mathrm{d} 4}{\mathrm{d} x}-4.\frac{\mathrm{d}(3x^2-2x+1)^3 }{\mathrm{d} x}}{(3x^2 - 2x+1)^6} = \frac{0-4.\frac{\mathrm{d} w^3}{\mathrm{d} w}\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x}}{(3x^2 - 2x+1)^6}$

Tomei w = 3x^2-2x+1

para aplicar a regra da cadeia e o zero que surge vem de $\frac{\mathrm{d} 4}{\mathrm{d} x} = 0$ .

Agora, continuando:

$\frac{0-4.\frac{\mathrm{d} w^3}{\mathrm{d} w}\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x}}{(3x^2 - 2x+1)^6} = \frac{-4.3w^2.(6x-2)}{(3x^2 - 2x+1)^6} = \frac{-12(3x^2-2x+1)^2(6x-2)}{(3x^2 - 2x+1)^6} = \frac{-72x+24}{(3x^2 - 2x+1)^4}$

Chegamos a resposta!

Se formos fazer por regra do produto, então $f(x) = 4.(3x^2-2x+1)^{-3}$ e como $\frac{\mathrm{d} \left (uv \right )}{\mathrm{d} x} =u\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}+v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ então tomando u=4

e $v = (3x^2-2x+1)^{-3}$ temos:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x) = 4.(-3)(3x^2-2x+1)^{-4}.(6x-2) - (3x^2-2x+1)^{-3}.0 = \frac{-72x+24}{(3x^2 - 2x+1)^4}$

pois $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^2-2x+1)^{-3} = -3.(3x^2-2x+1)^{-3-1}(6x-2) = \frac{-3(6x-2)}{(3x^2-2x+1)^4}$ .

Mas agora veja que como a primeira função, u=4

, é constante bastava apenas que você usasse a propriedade $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( cf(x) \right ) = c.\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ , isto é, "a constante sai fora da derivada"!. Tente fazer assim e veja se chega no mesmo resultado!