[COMPRIMENTO DE CURVAS] exercicios.

por **LuannLuna** » Qui Nov 29, 2012 17:49

Bom galera,
tô com dificuldade em um exercício aqui.
- Calcule o comprimento da catenária $\alpha(x) = (t,cosht) , t \in {R}$ , entre t = a e t = b.
Eu já cheguei em $\int_{a}^{b}cosh^2t - tcosht$ .
Mas daqui eu não to conseguindo sair, essa parte de cosseno hiperbolico quebrou minhas pernas... ^^'

por **young_jedi** » Qui Nov 29, 2012 21:15

a integral do comprimento seria assim

$\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$

analisando a equação dada

x=t

$\frac{dx}{dt}=1$

y=cosh(t)

$\frac{dy}{dt}=senh(t)$

então

$\int_{a}^{b}\sqrt{(1)^2+\left(senh(t)\right)^2}dt$

da relação se seno hiperbolico e cosseno hiperbolico, nos sabemos que

cosh^2(t)-senh^2(t)=1