[limite com 2 variáveis] dúvida na resolução

por **Fabio Wanderley** » Dom Dez 09, 2012 20:32

Boa noite a todos,

Estou no início do estudo de Limites com duas variáveis. Vejam essa resolução de um exemplo do Guidorizzi (Um curso de Cálculo, vol. 2, 5 ed.).

Calcule, caso exista, $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}$ .

Solução

Seja f(x,y) = $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ e tomemos $\gamma_1(t)=(0,t)$ e $\gamma_2(t)=(t,t)$ .

$\lim_{t\rightarrow 0}f(\gamma_1(t))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2}{0^2+t^2}=0$

e

$\lim_{t\rightarrow 0}f(\gamma_2(t))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t^2+t^2}=\frac{1}{2}$

Logo, $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}$ não existe.

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Gostaria de saber se posso tomar também $\gamma_1(t)=(t,0)$ e $\gamma_2(t)=(0,t)$ .

Assim, terei $\lim_{t\rightarrow 0}f(\gamma_1(t))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t^2+0^2}=1$

e

$\lim_{t\rightarrow 0}f(\gamma_2(t))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2}{0^2+t^2}=0$

Portanto, o limite dado não existe.

Está correto?