Derivada

por **lorena Kelly** » Sáb Dez 01, 2012 20:41

Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que maximizam o custo do metal para produzir a lata.
Dica:
Quanto menos metal, menos custo.
Procure utilizar área.
Faça o desenho para representar

h r A
h r V
cilindro ? ?
?
2 2
2
2
+ =
=
)

por **lorena Kelly** » Sáb Dez 01, 2012 20:45

Me ajuda PROFESSORES, não sei fazer este exercicio.

por **e8group** » Sáb Dez 01, 2012 21:28

Dica, Tenta obter uma relação com os seguintes dados :

$\begin{cases}A_b = \pi r^2 \\ A_l = 2\pi r h \\ A_t =2A_b + A_l \\ V_c = \pi r ^2 h\end{cases}$

Onde :

A_b

(Área base)

A_l

(Área Lateral)

A_t

(Área total )

V_c

(Volume do cilindro)

Além das observações proposta pelo seu professor ,observe que a capacidade máxima do volume do cilindro é compativel com um litro de óleo .Em outras palavras ,

Tente concluir ,se não conseguir post algo .

por **Cleyson007** » Sáb Dez 01, 2012 21:56

Boa noite Lorena!

Seja bem-vinda ao Ajuda Matemática!

Santhiago, pensei da seguinte forma:

Seja ${A}_{t}$ a área total,

o raio,

o volume, e

a altura.

${A}_{t} = 2.\pi.{r}^{2} + 2.\pi.r.h$ e $v = \pi.h.{r}^{2}$

$1000 = \pi.h.{r}^{2}$ $h= \frac{1000}{\pi.h.{r}^{2}}$ ${A}_{t}=2\pi{r}^{2}+2\frac{1000}{r}\Rightarrow\,{A}_{t}=\frac{2000}{r}+2\pi{r}^{2}$

Derivando em relação a

, temos:

$-2000({r})^{-2}+4\pi.r$

Derivada da área total --> $\frac{-2000+4.\pi.{r}^{3}}{{r}^{2}}$

No ponto mínimo temos a derivada acima igual a zero. Logo:

$-2000+4.\pi.{r}^{3}=0$

$r=\sqrt[3]{\frac{10}{2\pi}}$

Para a altura, temos:

$h=\left( \frac{1000}{\pi.\frac{10}{\sqrt[3]{2\pi}}}\right)^{2}$

$h=\frac{20}{\sqrt[3]{2.\pi}}$

h=2r