[ANALÍTICA] Interseção entre reta e círculo

por **gtei** » Qui Nov 22, 2012 18:46

Oi pessoal, tava tentando resolver essa questão da PUCRS de 2007 e acabei me perdendo. Aí vai (tentativa abaixo):

Um ponto se movimenta sobre um plano onde está situado
um referencial cartesiano. Seu trajeto percorre a
circunferência de equação x² + y² = 1 e seu deslocamento
é feito a partir do ponto ( 1, 0 ) no sentido antihorário
até a primeira interseção dessa circunferência
com a reta y = x. Essa interseção é dada pelo ponto
A) (cos0º, sen0º)
B) (sen30º, cos 30º)
C) (cos 45º, sen 45º)
D) (sen 60º, cos60º)
E) (sen90º, cos90º)

O que eu fiz foi o seguinte: desenhei a o círculo com centro (0,0) e raio 1 e a reta y=x. Marquei o ponto 1,0 e fiz a trajetória, até chegar no ponto de interseção, que para mim ficou no segundo quadrante. Agora não sei o que fazer! Como descubro as coordenadas do ponto?

Obrigado!

por **e8group** » Qui Nov 22, 2012 20:00

Para descrever isto , vamos supor que existe um ponto P = (a,a)

simultaneamente pertencente a circunferência e a reta , como

estar no segundo quadrante , a > 0

. Assim ,

$a^2 + a^2 = 1 \implies 2a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{2} \therefore a = \frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Mas , sin^2(x) + cos^2(x) = x^2 + y^2 = 1

daí , $P = (sin(45 ^{\circ} ), cos (45^{\circ} ) )$ .

por **MarceloFantini** » Qui Nov 22, 2012 20:05

Existem algumas formas de encontrar a resposta.

Uma delas é perceber que y=x

denota uma reta que faz um ângulo de $45^{\circ}$ com o eixo x, portanto este será o ângulo. Como o raio é um, podemos descrever o ponto como $(\cos 45^{\circ}, \sin 45^{\circ})$ .

Outra é resolver de maneira puramente analítica: use que $x = \cos \theta$ , $y = \sin \theta$ e faça y=x

, assim $\sin \theta = \cos \theta$ .

Usando a relação fundamental temos $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$ , logo $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ .

Elevando a primeira equação ao quadrado e substituindo segue que $\sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ , $2 \sin^2 \theta = 1$ e $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ .

Portanto $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ou $\sin \theta = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Disso você conclui que $\theta = 45^{\circ}$ ou $\theta = 225^{\circ}$ . Como queremos a primeira interseção, a resposta é $\theta = 45^{\circ}$ .

Não sei como você andou até a interseção, mas é impossível estar no segundo quadrante. A reta y=x