O que significa exatamente e^x e ln(x)? qual a diferença ?

por **theSinister** » Qua Nov 14, 2012 20:26

Eu sei que Ln é usado para representar o lagaritimo neperiano, e o "e" é usado para função exponencial na base de euler. Porem qual a diferença dos dois? Me ajudem com exemplos por favor. Obrigado

por **young_jedi** » Qua Nov 14, 2012 21:24

nos temos que
se

ln(x)=y

então

e nos temos que

se

y=e^x

então

por **MarceloFantini** » Qua Nov 14, 2012 22:25

Eles são suas respectivas funções inversas também. Temos que $e^{\ln x} = x$ e $\ln e^x = x$ .

por **Jhenrique** » Qui Nov 15, 2012 04:38

Haaa... como eu amo esse tipo de pergunta! :-D

O esquema é o seguinte...

Trace um paralelo com o que vc já conhece, então...

x+k=y

tem como oposto x-k=y

$x\cdot k=y$ tem como inverso x:k=y

$x^{1\cdot k}=y$ tem como inverso $x^{1:k}=y$

Conseque observar a simetria matemática?

A função exponencial e a logaritmica é muito semelhante ao último caso, a diferença é que a constante

será a base e a variável

passa ser o expoente, então...

k^x=y

tem como inverso k^y=x

Mas vc pode argumentar: "A inversa que vc definiu não vale! Pois vc não isolou o y! Eu sei quanto vale

e sei também quanto vale

, mas a minha incógnita é o

!"

Daí eu te respondo - vdd! Mas o que é o y?
E você diz - Ahh, y é o expoente que na base k resulta no valor x.
- Certo! Agora troque o termo "expoente" pelo termo logaritmo" e ficará: "y é o log que na base k dá o valor x". Em linguagem matemática: " $y=log_{k}(x)$ ".

Isso é um silogismo, não é mesmo? Você observou que a questão não foi resolvida? É a mesma coisa de dizer que 5+3 é ,pela propriedade comutativa da adição, a mesma coisa que 3+5.... iahesiaheihiehaihe
E daí vc apela a uma calculadora pra achar o log...

Ok! Essa é a interpretação algébrica, simplesmente dizer que uma coisa é a inversa da outra não basta. Vamo usar a lingua portuguêsa pra entender a matemática, vamos interpretá-la!

Então suponha que

seja algum tipo de grandeza... caso vc deseje ampliá-la, o que vc faz? Uma solução é multiplicar

por um coeficiente

, se

, então vc terá três vezes o valor orignal da grandeza ( $3\cdot x=x+x+x$ ), outra solução é fazer x^k

, isso é o que chamamos de crescimento ou decrescimento exponencial, pois se k=3

, então o valor dessa grandeza não será somado com outro valor igual ao dela, será multiplicado por outro valor igual ao dela $x\cdot x\cdot x$ !

Basicamente, a função log serve para vc encontrar um expoente, quanto que a exp serve para te dar o resultado de uma constante elevada a um expoente.

Por exemplo: 10^2

é igual a $10\cdot 10$ . Já quando ver um $log_{10}(1000)$ , pense assim: quantas vezes o valor 10 precisa ser multiplicado por ele mesmo para dar o resultado 1000!?

Agora, a constante

! A maioria diz que ela é importante mas não sabem explicar o porque... a melhor explicação que dão é que a taxa de variação de e^x

é

, como se isso dissesse tudo!

Acontece que uma função exponencial é definida basicamente assim: f(x)=a^x

, mas quando vc define a=e

passa ter a vantagem de poder enchegar a tx de variação da sua função, que será $f(x)=e^{\alpha x}$ a tx de variação é $\alpha$ .

*Tudo o que eu falei sobre tx de variação é com relação ao cálculo newtoniano.

também estabelece algumas relações bem interessantes entre a derivada tradicional e a derivada geométrica, recomendo vc pesquisar por Multiplicative Calculus.

por **theSinister** » Qui Nov 15, 2012 19:27

muito obrigado pelas respostas pessoal!!

Jhenrique

Eu entendi tudo cara, porem só não entendi porque que a derivada de ${e}^{x}$ é igual ao proprio ${e}^{x}$ ? Se considerarmos o termo " a " da função exponencial sendo igual a ${e}_{}$ então porque que o termo "a" sobe para o expoente e multiplica o "x" igual vc colocou?

vc colocou da seguinte maneira ${e}^{ax}$ porem, nós haviamos considerado que o "a " seria igual a "e" , pq que o "a" subiu para o expoente?

por **MarceloFantini** » Qui Nov 15, 2012 21:09

Ele não "subiu". O Henrique apenas usou como uma constante multiplicando a variável. Trocando apenas a letra, é o mesmo que $e^{kx}$ .

por **Jhenrique** » Qui Nov 15, 2012 23:15

Isso, é como o Marcelo disse... eu não subi a base

para o expoente, eu defini $\alpha$ como sendo o expoente.

Outra coisa importante que eu esqueci de comentar é o seguinte... se definirmos uma função tipo $f(x)=a^{\alpha x}$ , como $f(n)=a^{\alpha n}$ , com $n\in \mathbb{N}$ , então vc está diante duma P.G. de razão igual a $a^{\alpha}$ . Bem... acho que isso é o meu supra sumo sobre o assunto!