[Equação fundamental da trigonometria]seno

por **julia_cristina** » Qui Nov 15, 2012 14:22

Como resolver o exercício sen x = sen 3x.
Sabemos que a resposta é 45º mas não sabemos como chegar...

por **DanielFerreira** » Qui Nov 15, 2012 14:41

Sejam bem-vindas!

$\\ sen \, x = sen \, (3x) \\ sen \, x = sen \, (x + 2x) \\ sen \, x = sen \, x \cdot cos \, (2x) + sen \, (2x) \cdot cos \, x \\ sen \, x = sen \, x \cdot cos \, (x + x) + sen \, (x + x) \cdot cos \, x \\ sen \, x = sen \, x \cdot (cos^2 \, x - sen^2 \, x) + 2 \cdot sen \, x \cdot cos \, x \cdot cos \, x \,\,\,\,\,\, \div (sen \, x \\ 1 = (cos^2 \, x - sen^2 \, x) + 2 \cdot cos^2 \, x \\ \boxed{3 \cdot cos^2 \, x - sen^2 \, x = 1 }$

Sabemos que $\boxed{cos^2 \, x + sen^2 \, x = 1}$ , então:

$\\ \begin{cases} 3 \cdot cos^2 \, x - sen^2 \, x = 1\\ cos^2 \, x + sen^2 \, x = 1\end{cases} \\ ------------ \\ 4 \cdot cos^2 \, x = 2 \\\\ cos^2 \, x = \frac{1}{2} \\\\ cos \, x = \sqrt{\frac{1}{2}} \\\\ cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\\\ \boxed{\boxed{x = 45^o}}$

Nota:
$\\ \blacklozenge \,\,\, sen(x + x) = 2 \cdot sen \, x \cdot cos \, x \\\\ \blacklozenge \,\,\, cos(x + x) = cos^2 \, x - sen^2 \, x$

Espero ter ajudado!!

Comentem qualquer dúvida.

Daniel F.