[Limite] Seno e cosseno

por **KleinIll** » Qua Out 31, 2012 15:01

$\lim_{x \rightarrow1} \left({x}^{3} - 1 \right)\left[ sen(\frac{1}{x - 1}) + cos(\frac{3}{x}) + 10 \right]$

Alguém pode explicar como resolver?

Reposta: 0

por **young_jedi** » Qua Out 31, 2012 20:33

temos que para qualquer valor de x a expressção nos temos certeza que $sen\left(\frac{1}{1-x}\right)$ esta entre -1 e 1 e $cos\left(\frac{3}{x}\right)$ também ou seja:

$-1\leq sen\left(\frac{1}{1-x}\right)\leq1$

$-1\leq cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)\leq1$

ou seja para quaquer valor de x maior que 1

$(x^3-1)(-1-1+10)<(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right)+10\right]$

e

$(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]<(x^3-1)(1+1+10)$

ou seja

para valores de x>1 nos temos

$(x^3-1)8<(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]<(x^3-1)12$

mais nos temos que

$\lim_{x\rightarrow1_+}(x^3-1).8=0$

e

$\lim_{x\rightarrow1_+}(x^3-1).12=0$

então pelo teorema do confronto

$\lim_{x\rightarrow1_+}(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]=0$

de forma semelhante nos temos que para x<1

$(x^3-1)(-1-1+10)>(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right)+10\right]$

e

$(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]>(x^3-1)(1+1+10)$

ou seja

para valores de x<1 nos temos

$(x^3-1)8>(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]>(x^3-1)12$

mais nos temos que

$\lim_{x\rightarrow1_-}(x^3-1).8=0$

e

$\lim_{x\rightarrow1_-}(x^3-1).12=0$

então pelo teorema do confronto

$\lim_{x\rightarrow1_-}(x^3-1)\left[sen\left(\frac{1}{1-x}\right)+cos\left(\frac{3}{x}\right\rihgt)+10\right]=0$

se os limites laterais existem e ambos são iguais a zero então o limite é igual a zero

por **e8group** » Qua Out 31, 2012 20:34

Desconsidere , já foi respondido .

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