Perpendicularidade entre planos

por **Danilo** » Seg Out 22, 2012 00:20

Encontre a equação de um plano que passa pelo ponto P = (2,1,0) e é perpendicular aos planos x+2y-3z+2 = 0 e 2x-y+4z=0.r

Então... o problema é que eu não consigo visualizar planos perpendiculares! Com reta tudo bem... mas com planos não. Sei da equação do plano, sei do vetor a..''normal'' ao plano... sei que a interseçao deles é uma reta... mas não consigo encaixar tudo isso para resolvero exercício. Grato a quem puder ajudar !

por **MrJuniorFerr** » Seg Out 22, 2012 00:59

Para visualizar melhor planos perpendiculares, sugiro que tente analisar com 2/3 folhas de sulfite ou analise pelo livro: Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch.
Para encontrar a equação do plano $\pi$ , que no qual já foi dado um ponto pertencente a ele, você precisa achar o vetor normal a ele. Sabendo que há 2 planos perpendiculares a ele, n1(vetor normal ao plano1) e n2(vetor normal ao plano2), conclui-se que n1 e n2 são paralelos ao plano $\pi$ , ou seja, fazendo n1 X n2 (produto vetorial), você descobre um vetor perpendicular a n1 e n2 e normal ao plano $\pi$ , ou seja, você encontrou o vetor n do plano $\pi$ , agora é só substituir em ax+by+cz+d=0

, achar o valor de d e você encontrou a equação geral do plano.

por **Danilo** » Qua Out 24, 2012 20:26

Bom, eu entendi que para encontrar a equação de um plano basta um ponto e a normal deste plano. Sei que a interseção entre dois planos é uma reta. Eu não entendi por que a normal dos planos são paralelos ao plano que queremos encontrar. E também não entendi por que o produto vetorial das outras normais será a normal do plano que queremos encontrar... Grato!

por **MarceloFantini** » Qui Out 25, 2012 01:35

Você precisa encontrar um vetor que seja normal ao vetor normal de cada um dos planos.

Uma boa forma de fazer isso é calcular o produto vetorial entre os vetores normais, pois ele garante que o vetor encontrado será ortogonal aos vetores dados.

Em símbolos, se $n_3 = n_1 \times n_2$ , então $n_3 \perp n_1$ e $n_3 \perp n_2$ . Em termos de produto interno, que é a caracterização usual, temos $\langle n_3, n_1 \rangle = \langle n_3, n_2 \rangle = 0$ .

Encontrado este vetor, você já tem os valores a,b,c

da equação geral do plano ax+by+cz+d=0

. Basta substituir o ponto dado e você encontrará

.

por **Danilo** » Qui Out 25, 2012 22:32

Obrigado!

por **Danilo** » Qui Out 25, 2012 22:33

Obrigado!!!!

por **Danilo** » Seg Out 29, 2012 16:05

Estou confuso com uma coisa: O que quer dizer quando um vetor é paralelo ao plano? Quer dizer que ele está ''dentro'' do plano? Eu estou com uma dificuldade imensa para desenhar/visualizar isso. Eu entendi os cálculos. Mas não vejo por que o cada normal é paralela a pi. Grato!

por **MarceloFantini** » Seg Out 29, 2012 18:03

Se for paralelo ao plano pode estar dentro do plano, mas fora também. Pode ser uma reta ortogonal à normal do plano mas que não esteja contida no plano, isto é, não satisfaz a equação dada. De qualquer forma, em nenhum momento foi dito que algum vetor era paralelo a um plano.

Uma forma de visualizar isto é pegar uma caneta e colocar em cima de uma mesa. Agora suba a caneta mantendo a direção original. Você terá um vetor paralelo a um plano sem estar contido nele.