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[Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

[Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 14, 2012 17:50

Boa tarde a todos.

Estou com dúvida no seguinte exercício:

Obtenha a interseção da reta r com o plano \pi.

reta r:
x=-1+\lambda
y=-1-\lambda
z=1

\pi: x+y+z=-1

Eu tentei resolver da seguinte forma:

Os valores de x, y, e z de r, eu os substituí na na equação \pi, ficando:

-1+\lambda-1-\lambda+1=-1

Mas como podem ver, o \lambda vai se cortar... e não vou conseguir descobrir seu valor desta forma.

Como eu poderia resolver este sistema?
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 14, 2012 18:27

Isto provavelmente significa que a reta está contida no plano.

A igualdade será satisfeita para qualquer \lambda \in \mathbb{R}, e vemos que o vetor normal ao plano, que é (1,1,1), é ortogonal ao vetor diretor da reta, que é (1,-1,0).
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 14, 2012 18:53

MarceloFantini escreveu:Isto provavelmente significa que a reta está contida no plano.

A igualdade será satisfeita para qualquer \lambda \in \mathbb{R}, e vemos que o vetor normal ao plano, que é (1,1,1), é ortogonal ao vetor diretor da reta, que é (1,-1,0).


Se nesse caso, a reta está contida no plano, a interseção da reta e o plano é a própria reta?
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 14, 2012 18:56

Sim.
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 14, 2012 19:10

Marcelo, antes de você me responder, eu tinha conseguido resolver o sistema... só que não tenho certeza q está certo, olhe:

Eu somei todas as equações e obtive:

x+y+z+x+y+z=-1+\lambda-1-\lambda+1-1

e cheguei em:

2x+2y+2z=-2

como z=1,

2x+2y+2=-2

2x+2y=-4

2x=-4-2y

x=\frac{-4-2y}{2}

x=-2-y

Sabendo disso, o ponto de interseção é:

I(-2-y,y,1)

Se você não me falasse, eu iria resolver dessa forma, e achar que a interseção dessa reta e o plano, seria um ponto...
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 14, 2012 19:26

Sua resolução não faz sentido. A interseção de uma reta e um plano só pode ser uma de três possibilidades: nada, um ponto ou uma reta, que é o caso em que a reta está contida no plano.

Note que se você somasse apenas as equações da reta, perceberia que x+y+z = (-1+ \lambda) + (-1 - \lambda) +1 = -1, que é justamente a equação do plano. A conclusão é que a reta está contida no plano.
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 14, 2012 19:42

Por qual motivo a minha resolução não faz sentido? Não pode somar todas as equações como eu somei?
Se a professora colocasse um exercício desse tipo na prova, eu teria que avaliar então se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano para qualquer das três possibilidades que você citou?
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 14, 2012 19:53

Não faz sentido porque você somou a mesma equação a ela. Note que o resultado que você chegou, que é 2x+2y+2z = -2, é simplesmente um múltiplo da equação do plano original. Quando você substituiu z=1, você fez a interseção do plano com o plano z=1, que é paralelo ao plano xy. Daí você encontrou a reta que é a interseção destes dois planos.

Em outras palavras, você resolveu um problema diferente do enunciado. Não tente fixar um método de resolução para tudo, é caminho certo para falhar.

Para começar, eu faria o mesmo que fez: substituir e ver o que encontra. Como não há erros na álgebra e você viu que é independente do parâmetro, deveria ter pensado um pouco e percebido que a reta estava contida no plano.

Se você chegasse numa impossibilidade, como -1=1, então a reta não teria interseção com o plano.

Por último, se encontrasse um valor único para o parâmetro, como \lambda =3, então a interseção seria um único ponto e você substituiria na equação da reta para encontrar este ponto.
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 14, 2012 22:35

Entendi Marcelo, vou começar a prestar mais atenção nos detalhes. Aprendi com você que nada acontece por acaso, ou seja, para todo acontecimento há uma causa. Obrigado.

Na resolução deste exercício, posso explicar a minha conclusão da reta estar contida no plano a partir do parâmetro \lambda se cortar na substituição?
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Re: [Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 14, 2012 22:38

Sim, mostre que ela satisfaz a equação do plano. Pode fazer isto substituindo ou somando (são processos equivalentes).
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.