[Equação de planos] Dùvida exercício 7

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 13, 2012 18:11

Estou com dúvida no seguinte exercício:

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém os pontos A(2,0,0) e B(0,3,2)
Gabarito: 3x+2y-6=0

Resolvi da seguinte forma:
Como o plano é paralelo ao eixo z, sabe-se que o vetor $\overrightarrow{v}=(0,0,1)$ é pertencente ao plano, mas no meu ponto de vista, este (0,0,1) também é um ponto pertencente ao plano, então usei C(0,0,1). Portanto agora tenho 3 pontos pertencentes ao plano.
Fazendo $\overrightarrow{CA}=(2,0,-1)$ e $\overrightarrow{CB}=(0,3,1)$ , encontro 2 vetores coplanares e não colineares. Portanto, $\overrightarrow{CA}$ X $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{n}$
Após fazer o produto escalar dos 2 vetores, obtive que $\overrightarrow{n}=(3,-2,6)$
Fazendo 6(1)+d=0

, encontro d=-6

Enfim, substituindo, a equação geral do plano que encontrei foi 3x-2y+6z-6=0

.

Alguém sabe me explicar o por quê do meu resultado estar diferente do gabarito e se a minha resolução está certa?
Obrigado

Edit:
Aproveitando o tópico, qual a diferença quando um plano é definido pelo eixo z ou o plano é paralelo ao eixo z?

por **young_jedi** » Sáb Out 13, 2012 20:48

o ponto C(0,0,1) não é pertencente o plano, voce tem que o vetor v=(0,0,1) é paralelo ao plano portanto os dois vetore que voce tem para achar a equação do plano são

$\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{v}$

fazendo o produto vetorial entre os dois voce encontra um vetor normal ao plano e com isso consegue determinar o plano

Um plano definido pelo exio z, é um plano que contem o exio z ou seja, qualquer ponto do tipo (0,0,z) pertence ao plano
ja um ponto paralelo ao eixo isso não ocorre, oque ocorre é que qualquer vetor do tipo (0,0,z) é paralelo ao plano, mais os pontos do tipo (0,0,z), não peretence ao plano.