[Equação de planos] Dùvida exercício 3

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 07, 2012 02:49

Deduza uma equação do plano definido pelo eixo z e pelo ponto (4,4,1).

Tentei resolver este exercício e não consegui...

Quando uma equação do plano é definida pelo eixo z, a variável z é livre?

A equação do plano é: ax+by+cz+d=0

, se a variável z é livre, temos:

ax+by+d=0

Mas, como podem ver, ainda não tenho o vetor normal $\overrightarrow{n}$ (perpendicular) ao plano. Como posso acha-lo concluir o exercício?

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 13:16

se a equação é definida pelo exio z então o plano contem o eixo z

ou seja qualquer ponto sobre o eixo z é um ponto do plano
sendo o ponto P=(0,0,1) este ponto faz parte do ponto
sendo a orgiem do sistema O=(0,0,0) e o ponto A={4,4,1}

o produto vetorial

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PO}\otimes\overrightarrow{AO}$

nos fornece o vetor normal ao plano

então um ponto B=(x,y,z)

o produto escalar dos vetores $\overrightarrow{BO}$ e $\overrightarrow{n}$ é igual a zero

$\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{n}=0$

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 07, 2012 16:39

young_jedi escreveu:se a equação é definida pelo exio z então o plano contem o eixo z

ou seja qualquer ponto sobre o eixo z é um ponto do plano
sendo o ponto P=(0,0,1) este ponto faz parte do ponto
sendo a orgiem do sistema O=(0,0,0) e o ponto A={4,4,1}

o produto vetorial

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PO}\otimes\overrightarrow{AO}$

nos fornece o vetor normal ao plano

então um ponto B=(x,y,z)

o produto escalar dos vetores $\overrightarrow{BO}$ e $\overrightarrow{n}$ é igual a zero

$\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{n}=0$

Cheguei no resultado young_jedi.
Para qualquer plano o ponto de origem O(0,0,0) é pertencente e posso usa-lo para criar vetores?

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 17:21

O ponto O=(0,0,0) não pertencente a todos os planos, nesse caso nos sabemos que é
porque o eixo z pertence ao plano como diz o enunciado, e o ponto (0,0,0) pertence ao exio z
então o ponto O pertence a esse plano.