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[INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

[INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

Mensagempor fabriel » Qua Out 03, 2012 13:24

E ai pessoal, to em duvida, nessa questão, em que é dado essa integral:
\int_{}^{} \frac{dx}{x^2+a^2},a\neq0

Então deve se usar o metodo por substituição né, então comecei chamando:

u=x^2+a^2

então

du=2xdx

Mas agora, como q eu substituo se tem o x la pra incomodar??
Obrigado!!
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Re: [INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

Mensagempor LuizAquino » Qua Out 03, 2012 14:10

fabriel escreveu:E ai pessoal, to em duvida, nessa questão, em que é dado essa integral:
\int_{}^{} \frac{dx}{x^2+a^2},a\neq0

Então deve se usar o metodo por substituição né, então comecei chamando:

u=x^2+a^2

então

du=2xdx

Mas agora, como q eu substituo se tem o x la pra incomodar??


De fato, você usará uma substituição. Entretanto, a ideia é usar uma substituição para obter a seguinte integral básica:

\int \frac{1}{u^2 + 1}\,du = \,\textrm{arctg}\,u + c

Considere então a integral que você deseja calcular. Dividindo o numerador e o denominador do integrando por a², temos que:

\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \int \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{x^2}{a^2} + 1}\,dx

= \frac{1}{a^2}\int \frac{1}{\left(\frac{x}{a}\right)^2 + 1}\,dx

Agora use a substituição u=\frac{x}{a} e tente concluir o exercício.
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Re: [INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

Mensagempor fabriel » Qua Out 03, 2012 15:15

entendi pensei nisso ai mesmo, mas achei eu achei q estava indo para um caminho errada, ou muito difícil, Obrigado!! Valeu Luiz :-D

u=\frac{x}{a}

du = \frac{1}{a}dx

\frac{1}{a^2}\int_{}^{}\frac{1}{\left(\frac{x}{a} \right)^2+1}dx=\frac{a}{a^2}\int_{}^{}\frac{1}{u^2+1}du=\frac{1}{a}arctg (u) +c = \frac{1}{a}arctg\left(\frac{x}{a} \right)+c
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?