[INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

por **fabriel** » Qua Out 03, 2012 13:24

E ai pessoal, to em duvida, nessa questão, em que é dado essa integral:
$\int_{}^{} \frac{dx}{x^2+a^2},a\neq0$

Então deve se usar o metodo por substituição né, então comecei chamando:

u=x^2+a^2

então

Mas agora, como q eu substituo se tem o x la pra incomodar??
Obrigado!!

por **LuizAquino** » Qua Out 03, 2012 14:10

fabriel escreveu:E ai pessoal, to em duvida, nessa questão, em que é dado essa integral:
$\int_{}^{} \frac{dx}{x^2+a^2},a\neq0$

Então deve se usar o metodo por substituição né, então comecei chamando:

então

Mas agora, como q eu substituo se tem o x la pra incomodar??

De fato, você usará uma substituição. Entretanto, a ideia é usar uma substituição para obter a seguinte integral básica:

$\int \frac{1}{u^2 + 1}\,du = \,\textrm{arctg}\,u + c$

Considere então a integral que você deseja calcular. Dividindo o numerador e o denominador do integrando por a², temos que:

$\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \int \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{x^2}{a^2} + 1}\,dx$

$= \frac{1}{a^2}\int \frac{1}{\left(\frac{x}{a}\right)^2 + 1}\,dx$

Agora use a substituição $u=\frac{x}{a}$ e tente concluir o exercício.

por **fabriel** » Qua Out 03, 2012 15:15

entendi pensei nisso ai mesmo, mas achei eu achei q estava indo para um caminho errada, ou muito difícil, Obrigado!! Valeu Luiz :-D

$u=\frac{x}{a}$

$du = \frac{1}{a}dx$

$\frac{1}{a^2}\int_{}^{}\frac{1}{\left(\frac{x}{a} \right)^2+1}dx=\frac{a}{a^2}\int_{}^{}\frac{1}{u^2+1}du=\frac{1}{a}arctg (u) +c = \frac{1}{a}arctg\left(\frac{x}{a} \right)+c$