Equação Trigonométrica

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Equação Trigonométrica

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Equação Trigonométrica

Mensagempor Rafael16 » Ter Set 25, 2012 14:18

Resolva a equação abaixo, no intervalo 0 <= x < 2pi
cos(x) sen(x) – cos(x) + sen(x) – 1 = 0

Tentei resolver da seguinte forma:

cos(x) sen(x) – cos(x) + sen(x) = 1
cos(x).[sen(x) – 1] + sen(x) = 1

O produto poderia ser 0, podendo ser cos(x)=0 ou sen(x)=1
S = {pi/2,3pi/2}

Só que a resposta é S={pi/2, pi}

Não entendi... :(
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor young_jedi » Ter Set 25, 2012 14:36

repare que se x&=&\frac{3\pi}{2}

cos(\frac{3\pi}{2})&=&0

sen(\frac{3\pi}{2})&=&-1

isto não satisfaz a equação

Reagrupando a equação

cos(x)sen(x)-cos(x)+sen(x)-1&=&0

cos(x)(sen(x)-1)+sen(x)-1&=&0

(cos(x)+1)(sen(x)-1)&=&0

sendo assim

cos(x)+1&=&0

cos(x)&=&-1

ou

sen(x)-1&=&0

sen(x)&=&1
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor Rafael16 » Ter Set 25, 2012 15:00

Obrigado young_jedi!

cos(x)sen(x)-cos(x)+sen(x)-1&=&0

cos(x)(sen(x)-1)+sen(x)-1&=&0

(cos(x)+1)(sen(x)-1)&=&0 --> Não entendi muito bem como chegou nessa. Sei que se resolver isso vai chegar na eq. "original". Não querendo ser muito folgado :-D , mas poderia me explicar passo a passo?
Valeu!
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor young_jedi » Ter Set 25, 2012 15:58

até aqui acho que voce entendeu certo?

cos(x)(sen(x)-1)+sen(x)-1&=&0

só coloquei o cos(x) em evidencia
agora repare que eu tenho

sen(x)-1

multiplicado por cos(x) mais eu tambem tenho sen(x)-1 multiplicado por 1
então colocando sen(x)-1 em evidencia

(sen(x)-1)(cos(x)+1)&=&0
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1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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