Matriz Idempotentes

por **cramos_err** » Sex Ago 31, 2012 19:49

uma matriz quadrada é chamada de idempotentes se a²=a. Verifique que a matriz 1/3 |2 -1 -1|
|-1 2 -1|
|-1 -1 2|

é idempotente.

por **LuizAquino** » Sex Ago 31, 2012 19:58

cramos_err escreveu:uma matriz quadrada é chamada de idempotentes se a²=a. Verifique que a matriz 1/3 |2 -1 -1|
|-1 2 -1|
|-1 -1 2|

é idempotente.

Qual foi exatamente a sua dúvida? Basta calcular o produto A*A e conferir se isto é igual a própria matriz A.

Observação

Por favor, procure usar o LaTeX para digitar as notações de forma adequada.

Por exemplo, para digitar a matriz desejada basta usar o código:

Código: Selecionar todos: [tex] \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} [/tex]

O resultado desse código será:

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

por **cramos_err** » Sex Ago 31, 2012 20:08

LuizAquino escreveu:
cramos_err escreveu:uma matriz quadrada é chamada de idempotentes se a²=a. Verifique que a matriz 1/3 |2 -1 -1|
|-1 2 -1|
|-1 -1 2|

é idempotente.

Qual foi exatamente a sua dúvida? Basta calcular o produto A*A e conferir se isto é igual a própria matriz A.

Observação

Por favor, procure usar o LaTeX para digitar as notações de forma adequada.

Por exemplo, para digitar a matriz desejada basta usar o código:

Código: Selecionar todos
[tex] \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} [/tex]

O resultado desse código será:

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

Me descupe, pois sou novo no forum.

Mais a minha dúvida é pq 1/3, tem como vc fazer esse execício, para eu ver como fica, é apenas um exemplo.

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Sex Ago 31, 2012 20:46

cramos_err escreveu:Mais a minha dúvida é pq 1/3, tem como vc fazer esse execício, para eu ver como fica, é apenas um exemplo.

Ao invés de "lhe dar o peixe", eu vou lhe "ensinar a pescar". Eu mostrarei o caminho e você tenta seguir. Se você não conseguir terminar, então poste aqui até onde conseguiu avançar.

Note que esse 1/3 é apenas um escalar multiplicando toda a matriz. Lembre-se que multiplicar um escalar por uma matriz é apenas realizar a seguinte operação:

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

Agora bastaria calcular o produto:

$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

Se o resultado desse produto for igual a matriz inicial, então a matriz é idempotente.

Mas ao invés de fazer por esse caminho, o mais interessante seria efetuar a seguinte arrumação:

$\left(\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\right)=$

$= \left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\right)\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

$= \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} 2 & - 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

Agora basta calcular o produto entre as matrizes e comparar com a inicial. Note que esse produto é bem mais simples do que aquele entre as matrizes anteriores.

Tente continuar a partir daí.

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