Dúvida - potenciação

por **Danilo** » Qua Ago 29, 2012 10:27

Qual é a melhor maneira de resolver uma potência do tipo ${i}^{n}$ ? É que vejo muitas pessoas dividindo a potência por 4 sendo o resto elevado ao número i. Por que isso afinal? Quais são as melhores maneiras de resolver isso? Eu sempre quebrei a potência dividindo por algum número qualquer e usei a propriedade ${\left({i}^{n} \right)}^{s}$ mas vi que existem métodos muito mais simples. Gostaria que alguém me explicasse quais são os métodos e de onde vem os mesmos. Grato !

por **e8group** » Qua Ago 29, 2012 11:06

Desculpe ,mas não conseguir oq vc realmente quer . Seria isto ?

$i^n = i (i^{n-1} ) = \frac{i^{n+1}}{i} = i^{n/4} \cdot i^{3n/4}$ . Teria como postar um exercício para estudarmos seu expoente .

Na minha opinião não devemos limitar os modos de lidar com o expoente ,devemos adaptar todos eles a uma situação que nos leve a uma solução .

por **LuizAquino** » Qua Ago 29, 2012 11:34

Danilo escreveu:Qual é a melhor maneira de resolver uma potência do tipo ${i}^{n}$ ? É que vejo muitas pessoas dividindo a potência por 4 sendo o resto elevado ao número i. Por que isso afinal? Quais são as melhores maneiras de resolver isso? Eu sempre quebrei a potência dividindo por algum número qualquer e usei a propriedade ${\left({i}^{n} \right)}^{s}$ mas vi que existem métodos muito mais simples. Gostaria que alguém me explicasse quais são os métodos e de onde vem os mesmos.

Usar esse método do resto da divisão por 4 é uma boa estratégia.

Ela é a estratégia padrão para esse tipo de exercício, mas é claro que você pode usar outras.

Para entendê-la, primeiro lembre-se que i^4 = 1

.

Em seguida, considere um número natural n. Dividindo n por 4 obtemos um quociente q e um resto r (ou seja, n = 4q + r). Desse modo, temos que:

$i^{n} = i^{4q+r} =\left(i^4\right)^q\cdot i^r = 1^q \cdot i^r = i^r$

Resumindo: calcular i^n

é o mesmo que calcular i^r

, onde r é resto da divisão do natural n por 4.

por **Danilo** » Qua Ago 29, 2012 11:37

santhiago escreveu:Desculpe ,mas não conseguir oq vc realmente quer . Seria isto ?

$i^n = i (i^{n-1} ) = \frac{i^{n+1}}{i} = i^{n/4} \cdot i^{3n/4}$ . Teria como postar um exercício para estudarmos seu expoente .

Na minha opinião não devemos limitar os modos de lidar com o expoente ,devemos adaptar todos eles a uma situação que nos leve a uma solução .

Então, é tipo: Como resolver ${i}^{2578}$ ${i}^{2578}$ ? Um dos métodos que eu descobri recentemente, seria dividir 2578 por 4 e resto desta divisão, vira o expoente de i. Minha pergunta é: Quais são as maneiras de resolver, por exemplo, ${i}^{2578}$ ${i}^{2578}$ ? E por que quando efetuamos a divisão por 4, elevar o resto da divisão a i? É isso!

por **Danilo** » Qua Ago 29, 2012 11:41

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Qual é a melhor maneira de resolver uma potência do tipo ${i}^{n}$ ? É que vejo muitas pessoas dividindo a potência por 4 sendo o resto elevado ao número i. Por que isso afinal? Quais são as melhores maneiras de resolver isso? Eu sempre quebrei a potência dividindo por algum número qualquer e usei a propriedade ${\left({i}^{n} \right)}^{s}$ mas vi que existem métodos muito mais simples. Gostaria que alguém me explicasse quais são os métodos e de onde vem os mesmos.

Usar esse método do resto da divisão por 4 é uma boa estratégia.

Ela é a estratégia padrão para esse tipo de exercício, mas é claro que você pode usar outras.

Para entendê-la, primeiro lembre-se que .

Em seguida, considere um número natural n. Dividindo n por 4 obtemos um quociente q e um resto r (ou seja, n = 4q + r). Desse modo, temos que:

$i^{n} = i^{4q+r} =\left(i^4\right)^q\cdot i^r = 1^q \cdot i^r = i^r$

Resumindo: calcular é o mesmo que calcular , onde r é resto da divisão do natural n por 4.

Perfeito !!!!! Obrigado!!! Professor, poderia me passar um outro método qualquer?

por **e8group** » Qua Ago 29, 2012 12:29

Danilo , muito interessante este método . A parti de hoje fui apresentado ao mesmo . Abraços .

por **LuizAquino** » Qua Ago 29, 2012 18:15

Danilo escreveu:Professor, poderia me passar um outro método qualquer?

Uma outra maneira de fazer seria usando a Fórmula de Moivre. Vide a página abaixo:

Fórmulas de Moivre - Brasil Escola
http://www.brasilescola.com/matematica/ ... moivre.htm

Danilo escreveu:Então, é tipo: Como resolver ${i}^{2578}{i}^{2578}$ ? Um dos métodos que eu descobri recentemente, seria dividir 2578 por 4 e resto desta divisão, vira o expoente de i. Minha pergunta é: Quais são as maneiras de resolver, por exemplo, ${i}^{2578}{i}^{2578}$ ? E por que quando efetuamos a divisão por 4, elevar o resto da divisão a i? É isso!

No caso específico desse exercício, seria mais simples usar a seguinte estratégia:

${i}^{2.578}{i}^{2.578} = \left(i^2\right)^{2.578} = \left(-1\right)^{2.578} = 1$