[conjunto] questão da PUC-SP

por **Alane** » Seg Ago 27, 2012 09:45

Se a e b são números interos, 1< a <b<9, o menor valor a+b/ab que pode assumir é:

Meu raciocínio foi: 1 e 9 estão dentro desse conjunto, a é menor que b, então a pode ser de 1 à 8, para menor número a=1; b > a então poderia ser de 2 à 9, para menor número então b seria 2. aplicando na fórmula ficaria 1+2/2 => 3/2. Mas, não existe nem esta alternativa! Não faço ideia de como interpretar esta questão.

por **MarceloFantini** » Seg Ago 27, 2012 10:21

Editado, ver solução abaixo.

por **DanielFerreira** » Seg Ago 27, 2012 22:22

Oi Alane,
boa noite!

Alane escreveu:Se a e b são números interos, 1< a <b<9, o menor valor a+b/ab que pode assumir é:

Seguindo seu raciocínio, veja:
$\begin{cases} a \geq 1 \\ b > a \\ b \leq 9 \end{cases}$

Sabemos que $\mathbb{Z} = \left \{..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ... \right \}$ , com isso, podemos concluir que:

$\bullet$

e

são positivos! Então, o resultado da expressão $\frac{a + b}{ab}$ é positivo;

$\bullet$ o resultado também não pode ser zero, pois não há simetria.

$\\ \bullet \left \{ (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(1,9) \right \ \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(2,9) \right \ \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(3,9) \right \ \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9) \right \ \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5,6)(5,7)(5,8)(5,9) \right \ \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6,7)(6,8)(6,9) \right \$
$\\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7,8)(7,9) \right \ \\ \left \\ \left \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8,9) \right \}$

Portanto,
o menor valor da expressão é dada quando o denominador for o maior possível, isto é, o maior valor que

pode assumir é $8 \cdot 9$ ...

$\\ \frac{a + b}{ab} = \\\\ \frac{8 + 9}{8 \cdot 9} = \\\\ \boxed{\boxed{\frac{17}{72}}}$

por **DanielFerreira** » Seg Ago 27, 2012 22:26

Ah! Já ia me esquecendo.
MarceloFantini,
De acordo com o enunciado,

e

são inteiros.

Não foi dito que $\boxed{\frac{a + b}{ab}}$ é um inteiro!

por **MarceloFantini** » Ter Ago 28, 2012 00:37

Eu não disse que era inteiro, e sim que como o autor não disse nada provavelmente quis dizer o menor valor real que a fração poderia assumir. Uma outra solução é perceber que $\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ . Minimizando cada uma temos a=8

e

, logo $\frac{a+b}{ab} \geq \frac{17}{72}$ .

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