(Mackenzie) P.A. com P.G.

por **Rafael16** » Sáb Ago 04, 2012 14:19

Olá pessoal,

(Mackenzie) Se a sequência (2, 1/2, 4, 1/4, 6, 1/8, ...) é formada por termos de uma progressão aritmética alternados com os termos de uma progressão geométrica, então o produto do vigésimo pelo trigésimo primeiro termo dessa sequência é:

$a){2}^{10}$

$b)\frac{1}{{2}^{8}}$

$c){2}^{15}$

$d){2}^{\frac{1}{20}}$

$e){2}^{\frac{1}{5}}$

Percebi que os termos da P.A. ficam em posições ímpares.
então a posição 31 é uma P.A, e a posição 20 é uma P.G.

Cãlculo da P.A.

${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)r$

${a}_{31}=2+(31-1).2$

${a}_{31}=62$
____________________________________________
Cálculo da P.G.

${a}_{n}={a}_{1}.{q}^{n-1}$

${a}_{20}=\frac{1}{2}.({\frac{1}{2}})^{19}$

${a}_{20}=({\frac{1}{2}})^{20}$
___________________________________________
Soma

${a}_{20}+{a}_{31}$

${(\frac{1}{2})}^{20} + 62$

Não sei se até onde fiz esta certo, mas também não sei como resolvo a soma, não tem como fatorar 62 para deixar com base 1/2

Valeu!

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 04, 2012 16:45

Vamos escrever os termos da sequência da seguinte forma:

$a_{2n-1} = 2+(n-1)2$ para os termos ímpares;
$a_{2n} = 2^{-n}$ para os termos pares.

Note então que $a_{20} = a_{2 \cdot 10} = 2^{-10}$ e $a_{31} = a_{2 \cdot 16 -1} = 2+(16-1)2 = 2+30=32 = 2^5$ .
Como a questão pede o produto de ambos, temos $a_{20} \cdot a_{31} = 2^{-10} \cdot 2^5 = 2^{-5}$ .

por **Guilherme35** » Qui Set 13, 2012 09:59

Eu fiquei com duvida nesse exercicio, se ele diz o a31 e o a20, o valor desses termos nao seriam reduzidos pela metade ja que eles estao alternados entre uma PA e uma PG. Ficou meio estranho nao, pois para achar a razão, ela nao conciderou a2-a1, ela fez 4-2 e isso seria a3-a1. a razão nao teria que ter cido usada naquela formula do primeiro menos o segundo? e ja que pula o item 2 nao teria que dividir por dois tbm o resultado do a31 da PA?

por **MarceloFantini** » Qui Set 13, 2012 10:20

Você está confundindo. Quando o enunciado diz que alterna entre progressão aritmética e geométrica, isto significa que alguns termos estão em progressão aritmética e outros em progressão geométrica, e não termos consecutivos! Apenas os termos pares satisfazem uma progressão aritmética e apenas os termos ímpares satisfazem uma progressão geométrica.

Logo, para considerar as equações de progressão aritmética você deve levar em conta apenas os termos com índice da forma

(pares) e para considerar as equações de progressão geométrica você deve levar em conta que apenas os termos com índice da forma 2n-1