Arcos Notáveis

por **andersonlopes_bg** » Qua Ago 01, 2012 18:34

O exercício é para calcular o sen $sen \frac{\pi}{10}$ consegui calcular $sen \frac{\pi}{10}$ = $\frac{\sqrt[2]{5}-1}{4}$ e $cos \frac{\pi}{10}$ = $\frac{\sqrt[2]{10+2\sqrt[2]{5}}}{4}$ , a tangente fica igual a = $\frac{\sqrt[2]{5}-1}{\sqrt[2]{10+2\sqrt[2]{5}}}$ mas não consigo simplificar a resposta que é $\frac{\sqrt[2]{25-10\sqrt[2]{5}}}{5}$ . Obrigado!

por **Russman** » Qua Ago 01, 2012 20:59

Basta você multiplicar a tangente por

$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$ .

por **MarceloFantini** » Qua Ago 01, 2012 21:46

Isto não resolverá. Note também que http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt+%285%29+-+1%29%2F%28sqrt%2810+%2B+2+sqrt%285%29%29%29+%3D%3D+%28sqrt%2825+%2B+10+sqrt%285%29%29%29%2F%285%29 , ou seja, aparentemente seu resultado está errado ou o gabarito. Poderia colocar como encontrou o valor de $\textrm{sen } \frac{\pi}{10}$ ? Talvez tenha errado nestas contas.

por **Russman** » Qui Ago 02, 2012 09:51

Não, o seno foi calculado certo.

É conhecido que que o Triângulo Isósceles Dourado, isto é, um triângulo Isósceles que o quociente entre seu maior lado e menor é a Razão Dourada, tem o ângulo de vértice iguala 36 graus e os de base 72 graus.

Assim,

$sin(\frac{36}{2}=18) = sin(\frac{\pi }{10}) =\frac{\left [ base \right ]}{2\left [ lado \right ]} \equiv \frac{1}{2\varphi }$

Como $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , segue o resultado

$sin(\frac{\pi }{10}) =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

por **Russman** » Qui Ago 02, 2012 09:55

Pensando melhor, para simplificar a tangente eu suponho multiplicar primeiro por

$\frac{\sqrt{(10+2\sqrt{5})}}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})}}$
pra nos livrarmos da raíz quadrada.

Em seguida, multiplique por

$\frac{10-2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}$ .

Então vai obter a resposta.

por **Russman** » Qui Ago 02, 2012 10:24

Vou tentar simplificar/racionalizar aqui e já posto o que eu obtive.

por **Russman** » Qui Ago 02, 2012 10:26

O processo é bem longo, mas felizmente obtemos a resposta esperada.

: CodeCogsEqn.gif (6.65 KiB) Exibido 1892 vezes

Agora, seja $x=\frac{\left (12\sqrt{5}-20 \right )\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{80}$ , então

$x^2 = \frac{\left (12\sqrt{5}-20 \right )^2 \left (10+2\sqrt{5} \right )}{6400} = \frac{1}{6400}160.8(5-2\sqrt{5})\Rightarrow x = \sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$

que é o resultado que bate com o gabarito.