Limite-Qual o Valor de a?

por **Luthius** » Sex Jul 31, 2009 11:19

Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

por **Molina** » Sex Jul 31, 2009 14:38

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

Questão realmente intrigante. Como você já tentou resolve-la?

Eu começaria elevando ambos os lados por e.

Seria uma saída pra eliminar o ln.

Abraços, :y:

por **Felipe Schucman** » Sex Jul 31, 2009 15:06

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

Bom dia,

Acho que começaria um pouco diferente do molina, tentaria utilizar um limite famoso que é $\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{1}{x})^{1x}=e$ , tentaria chegar nisso com alguma mudança de incognita talvez, a partir dai resolveria o resto....não sei se da certo assim depois vou tentar!

Um abraço!

por **Felipe Schucman** » Sex Jul 31, 2009 19:39

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$
$ln{e}^{a} = 25$
Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

Ola! Pensei em algo que bnão tenho certeza que é correto mas talvez seja.... no caso $ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$ , independente do numero que a for a fração a/x ira tender a aproximadamente o mesmo numero pois x aumente infinitamente fazendo com que a fração tenda a 0...então,
Faria o seguinte, $ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25$ ----> $ln{e}^a=25$

que é, 1*a=25

---> usando regras de logaritmos, o a cai, e o lne é a mesma coisa que 1, de que a=25....
Não tenho certeza disso, mas é um resolução que tentei....

Se alguém mais entendido de calculo aparecer porfavor aponte algum erro,

Um abraço!

por **Molina** » Sex Jul 31, 2009 23:34

Felipe Schucman escreveu:
Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$
$ln{e}^{a} = 25$
Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

Ola! Pensei em algo que bnão tenho certeza que é correto mas talvez seja.... no caso $ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$ , independente do numero que a for a fração a/x ira tender a aproximadamente o mesmo numero pois x aumente infinitamente fazendo com que a fração tenda a 0...então,
Faria o seguinte, $ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25$ ----> $ln{e}^a=25$

que é, ---> usando regras de logaritmos, o a cai, e o lne é a mesma coisa que 1, de que a=25....
Não tenho certeza disso, mas é um resolução que tentei....

Se alguém mais entendido de calculo aparecer porfavor aponte algum erro,

Um abraço!

Boa noite.

Acho que é isso mesmo.
Não notei aquele limite fundamental...

Só montando agora em uma única expressão:

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25$

$ln({e})^{a}=25$

a*ln(e)=25

por **Molina** » Sex Jul 31, 2009 23:36

Será que podemos definir então que

$ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=a$ :?:

por **Felipe Schucman** » Sáb Ago 01, 2009 00:46

Acho que é um definição correta com tanto que aquilo seja mesmo um limite fundamental, o que temos que descobrir é se é um limite fundamental mesmo, talvez substituindo a por 25 e tentando chegar ao resultado saberemos.... tentar aproximar com uma boa calculadora o x a um valor bem alto....

Um abraço!

por **Elcioschin** » Sáb Ago 01, 2009 11:49

Limite (1 + 1/y)^y = e ----> Limite fundamental
y -->oo

Limite (1 + a/x)^ax = 25 ----> Fazendo a/x = 1/y -----> x = ay ----> x-->oo ----> y-->oo
x -->oo

Limite (1 + 1/y)^a*(ay) = 25
y -->oo

Limite (1 + 1/y)^a²y = 25
y -->oo

[Limite (1 + 1/y)^y]^a² = 25
y-->00

e^a² = 25 ----> (e^a)² = 5² ----> e^a = 5 -----> a = ln5

por **Felipe Schucman** » Sáb Ago 01, 2009 13:40

Elcioschin escreveu:Limite (1 + 1/y)^y = e ----> Limite fundamental
y -->oo

Limite (1 + a/x)^ax = 25 ----> Fazendo a/x = 1/y -----> x = ay ----> x-->oo ----> y-->oo
x -->oo

Limite (1 + 1/y)^a*(ay) = 25
y -->oo

Limite (1 + 1/y)^a²y = 25
y -->oo

[Limite (1 + 1/y)^y]^a² = 25
y-->00

e^a² = 25 ----> (e^a)² = 5² ----> e^a = 5 -----> a = ln5

Bom Dia Elcioschin,

Realmente acho que essa resolução ta certa, porém a resposta ficaria

ln e^a^2=25

----->

-----

Obrigado Elcioschin

Um Abraço!

por **Elcioschin** » Dom Ago 02, 2009 21:19

Felipe

Eu cometí um engano na última linha, mas a solução é outra:

e^(a²) = 25 -----> Aplicando logaritmo na base e (ln) nos dois membros:

ln[e^(a²)] = ln25 ----> (a²)lne = ln25 ----> a² = ln25 ----> a = [ln25]^(1/2) ----> a = V[ln25]

por **Luthius** » Seg Ago 03, 2009 10:04

Fiquei em dúvida.
Eu concordo em ser um limite fundamental e a resposta ser 25.
Mas a outra proposição não me deixa certo sobre o resultado.

por **Elcioschin** » Seg Ago 03, 2009 12:17

Felipe

Você está coberto de razão: somente agora eu vi que, na expressão original, existe o ln antes do limite.
Você pode ver que, em toda a minha demonstração, eu calculei APENAS o limite. Complementando:

ln[e^(a²)] = 25 -----> a²*lne = 5² ----> a²*1 = 5² ---> a² = 5² ----> a = +5 ou a = -5

por **Luthius** » Seg Ago 03, 2009 15:26

Então a resposta seguindo um passo a passo é:

$ln(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25$

Dado o seguinte limite fundamental de Euler.
$\lim_{y\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{y})^y=e$

Fazendo $\frac{a}{x}$ em $\frac{1}{y}$
{x=ay}

Substituindo na fórmula:

$ln(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{y})^{a(ay)}=25$

Substituindo novamente:

$ln(\lim_{x\rightarrow\infty}((1+\frac{1}{y})^{y})^{a^2})=25$

$ln(e)^{a^2}=25$

Aplicando uma das leis dos logaritmos:
${a^2}*ln(e)=25$
${a}=\sqrt[]{25}$

{a}=+5