Geometria Analítica

por **Livia000** » Qui Jun 14, 2012 15:30

Olá, pessoal!!!
Alguém poderia ajudar a fazer esta questão?

[IME - 2001 ]
Sejam tres retas r,s e t paralelas e não coplanares. São marcados sobre r dois pontos A e A´, sobre s os pontos B e B' e sobre t os pontos C e C´, de modo que os segmentos AA'= a ; BB'=b e CC'= c tenham o mesmo sentido.

a) Mostre que se G e G' são os baricentros dos triangulos ABC e A'B'C', respectivamente, então GG' é paralelo as tres retas.

b) Determine GG' em função de a, b e c.

...infelizmente, não tenho o gabarito dessa questão...

por **LuizAquino** » Sex Jun 15, 2012 20:17

Livia000 escreveu:Alguém poderia ajudar a fazer esta questão?

[IME - 2001 ]
Sejam tres retas r,s e t paralelas e não coplanares. São marcados sobre r dois pontos A e A´, sobre s os pontos B e B' e sobre t os pontos C e C´, de modo que os segmentos AA'= a ; BB'=b e CC'= c tenham o mesmo sentido.

a) Mostre que se G e G' são os baricentros dos triangulos ABC e A'B'C', respectivamente, então GG' é paralelo as tres retas.

b) Determine GG' em função de a, b e c.

...infelizmente, não tenho o gabarito dessa questão...

Como as retas são paralelas, elas possuem o mesmo vetor diretor. Suponha que esse vetor seja $\vec{v} = (d,\,e, \, f)$ .

Como elas não são coplanares, cada uma está em um plano diferente.

Suponha também que as coordenadas de A, B, e C sejam: $A = (x_A,\,y_A,\,z_A)$ , $B = (x_B,\,y_B,\,z_B)$ e $C = (x_C,\,y_C,\,z_C)$ .

Uma equação vetorial para as retas r, s e t pode ser:

$r : (x,\,y,\,z) = (x_A,\,y_A,\,z_A) + k(d,\,e,\,f)$

$s : (x,\,y,\,z) = (x_B,\,y_B,\,z_B) + l(d,\,e,\,f)$

$t : (x,\,y,\,z) = (x_C,\,y_C,\,z_C) + m(d,\,e,\,f)$

Como $A^\prime$ é um ponto de r, existe um escalar $k^\prime$ tal que $A^\prime = (x_A + k^\prime d,\,y_A + k^\prime e,\,z_A+k^\prime f)$ .

De modo análogo, existem escalares $l^\prime$ e $m^\prime$ tais que $B^\prime = (x_B + l^\prime d,\,y_B + l^\prime e,\,z_B+l^\prime f)$ e $C^\prime = (x_C + m^\prime d,\,y_C + m^\prime e,\,z_C + m^\prime f)$ .

Calculando então os baricentros, temos que:

$G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C,\, y_A+y_B+y_C,\,z_A+z_B+z_C\right)$

$G^\prime = \frac{A^\prime+B^\prime+C^\prime}{3}$ $\, = \frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C + (k^\prime + l^\prime + m^\prime)d,\, y_A+y_B+y_C+(k^\prime + l^\prime + m^\prime)e,$ $\,z_A+z_B+z_C+(k^\prime + l^\prime + m^\prime)f)$

Calculando então $\overrightarrow{GG^\prime}$ , temos que:

$\overrightarrow{GG^\prime} = G^\prime - G = \frac{k^\prime + l^\prime + m^\prime}{3}(d,\,e,\,f)$

Como o vetor $\overrightarrow{GG^\prime}$ é igual ao produto escalar entre $\frac{k^\prime + l^\prime + m^\prime}{3}$ e o vetor $\vec{v} = (d,\,e,\,f)$ , temos que $\overrightarrow{GG^\prime}$ e $\vec{v}$ possuem a mesma direção (isto é, são paralelos). Portanto, o segmento $GG^\prime$ é paralelo as retas r, s e t.

Desejamos agora calcular a medida de $GG^\prime$ em função de a, b e c. Para isso, perceba que a medida desse segmento é equivalente a $\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\|$ . Temos então que:

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| = \left\|G^\prime - G\right\|$

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| = \left\|\frac{A^\prime + B^\prime + C^\prime}{3} - \frac{A+B+C}{3}\right\|$

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| = \left\|\frac{\left(A^\prime - A\right) + \left(B^\prime - B\right) + \left(C^\prime - C\right)}{3}\right\|$

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| =\left|\frac{1}{3}\right| \left\|\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{BB^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime}\right\|$

Como $\overrightarrow{AA^\prime}$ , $\overrightarrow{BB^\prime}$ e $\overrightarrow{CC^\prime}$ possuem a mesma direção e o mesmo sentido, temos que:

$\left\|\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{BB^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime}\right\| =$ $\, \left\|\overrightarrow{AA^\prime}\right\| + \left\|\overrightarrow{BB^\prime}\right\| + \left\|\overrightarrow{CC^\prime}\right\|$

Sendo assim, podemos dizer que:

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| = \frac{1}{3} \left(\left\|\overrightarrow{AA^\prime}\right\| + \left\|\overrightarrow{BB^\prime}\right\| + \left\|\overrightarrow{CC^\prime}\right\|\right)$

Lembrando que $\overrightarrow{AA^\prime}=a$ , $\overrightarrow{BB^\prime}=b$ e $\overrightarrow{CC^\prime}=c$ , no final obtemos que:

$\left\|\overrightarrow{GG^\prime}\right\| = \frac{1}{3} (a+b+c)$

por **Livia000** » Sex Jun 15, 2012 21:53

Muito, muito obrigada!!! Ajudou mto!

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