Fatoração de uma expressão aparentemente irracional

por **PeterHiggs** » Qui Mai 31, 2012 10:15

Prove que $\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}$ é um número racional.

Obs.: A expressão vale 4.

* Comecei, associando à expressão o valor x (Para que eu pudesse elevar ao cubo, fatorar, fazer todas as transformações, e depois voltar ao "ponto de partida", já que estou trabalhando com uma expressão, e não uma equação)

Então, elevei ao cubo:

$x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3}$

$x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}})$

Bom, a partir daí, não consegui chegar a lugar algum. Alguém pode ajudar?

por **Russman** » Qui Mai 31, 2012 10:57

PeterHiggs escreveu:Prove que $\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}$ é um número racional.

Obs.: A expressão vale 4.

* Comecei, associando à expressão o valor x (Para que eu pudesse elevar ao cubo, fatorar, fazer todas as transformações, e depois voltar ao "ponto de partida", já que estou trabalhando com uma expressão, e não uma equação)

Então, elevei ao cubo:

$x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3}$

$x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}})$

Bom, a partir daí, não consegui chegar a lugar algum. Alguém pode ajudar?

Faça,

$a = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} , b= \sqrt[3]{20-14\sqrt2}$ .

Como,

${(a+b)}^{3} = {a}^{3}+{b}^{3}+3ab(a+b)$

entao

${(a+b)}^{3} = 6(a+b)+40$ .

Chamando a+b = x

você tem uma equação cúbica do tipo
${x}^{3}-6x-40=0$

donde se vê que x=4

é solução!

por **PeterHiggs** » Qui Mai 31, 2012 21:45

Obrigado pela resposta !
Simplesmente genial ! Valeu !!!! :y:

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