Duvida definição de limite

por **FernandaBS** » Sex Mai 25, 2012 11:10

Definição de limite: Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no proprio a. Dizemos que o limite de f(X) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos: $\lim_{x\to\(a}\ f(x) = L$ , se para todo epsilon > 0, existe um delta >0 , tal que |f(X) - L| < epsilon sempre que 0< |x-a| < delta.
Tenho dificuldade para entender o que quer dizer esse "exceto, possivelmente, no proprio a" já que quando vou resolver um limite como por exemplo: $\lim_{x\to\(1}\ (3x-1)$ o que faço é justamente substituir o "x" pelo "a", que nesse caso corresponde a 1 e obtenho o limite = 2.
O que esse "exceto, possivelmente, no proprio a" quer dizer ?? Por favor me ajudem.

por **Max Cohen** » Sex Mai 25, 2012 11:33

[Limite] Na verdade quando você trabalha com limites a variável não assumi o valor, você assumi que o ponto dado é o centro de uma circunferência de um raio tão pequeno quanto se queira, ou seja, fica em torno do ponto de uma forma muito próxima.

por **LuizAquino** » Sex Mai 25, 2012 12:56

FernandaBS escreveu:Definição de limite: Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no proprio a. Dizemos que o limite de f(X) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos: $\lim_{x\to\(a}\ f(x) = L$ , se para todo epsilon > 0, existe um delta >0 , tal que |f(X) - L| < epsilon sempre que 0< |x-a| < delta.
Tenho dificuldade para entender o que quer dizer esse "exceto, possivelmente, no proprio a" já que quando vou resolver um limite como por exemplo: $\lim_{x\to\(1}\ (3x-1)$ o que faço é justamente substituir o "x" pelo "a", que nesse caso corresponde a 1 e obtenho o limite = 2.
O que esse "exceto, possivelmente, no proprio a" quer dizer ?? Por favor me ajudem.

Ao invés de usar a expressão "substituir x pelo a", você não faria tanta confusão se usasse "aproximar x por a". Os termos "substituir" e "aproximar" possuem uma diferença sútil.

Além disso, imagine agora que você deseja calcular $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Perceba que você não pode aproximar x por 1 logo de início. Primeiro você precisa fazer alguma simplificação para só então fazer a aproximação.

Nesse limite, note que a função $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ está definida, por exemplo, em todo o intervalo aberto I = (0, 2), exceto em 1 (que é um número contido nesse intervalo).

Sendo assim, quando a definição de limite fala em "exceto, possivelmente, no próprio a", ela está tomando cuidado com situações como essa da função f.