Função implícita; Questão complicada!

por **jemourafer** » Qui Mai 17, 2012 18:30

A questão é a seguinte:
-Considere a lemniscata de equação (x^2+y^2)^2=x^2-y^2

. Determine os quatro pontos de lemniscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes são verticais.

Derivei implicitamente a função sem problemas $( {y}^{\prime}=\frac{x-2x^3-2xy^2}{2y^3+y+2x^2y} )$ , porém não consigo resolver a equação para achar os pontos onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Como posso fazer isso?

por **Fabio Wanderley** » Sex Mai 18, 2012 12:36

Olá,

Você já estudou o tema Assíntotas horizontal e vertical?

por **jemourafer** » Sex Mai 18, 2012 14:42

Oi

Já estudei sim! Imagino também que pra descobrir os pontos onde a reta tangente é horizontal, basta igualar a zero o numerador. Já os pontos onde a reta tangente é vertical, precisaremos que o denominador valha zero. Meu problema mesmo é em relação à conta pra achar a solução dessas equações.

por **LuizAquino** » Sex Mai 18, 2012 17:17

jemourafer escreveu:A questão é a seguinte:
-Considere a lemniscata de equação . Determine os quatro pontos de lemniscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes são verticais.

Derivei implicitamente a função sem problemas $( {y}^{\prime}=\frac{x-2x^3-2xy^2}{2y^3+y+2x^2y} )$ , porém não consigo resolver a equação para achar os pontos onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Como posso fazer isso?

jemourafer escreveu:Oi
Já estudei sim! Imagino também que pra descobrir os pontos onde a reta tangente é horizontal, basta igualar a zero o numerador. Já os pontos onde a reta tangente é vertical, precisaremos que o denominador valha zero. Meu problema mesmo é em relação à conta pra achar a solução dessas equações.

Para as tangentes horizontais, devemos ter:

x-2x^3-2xy^2 = 0

$x\left(1 - 2x^2 - 2y^2\right) = 0$

$x = 0 \textrm{ ou } 1 - 2x^2 - 2y^2 = 0$

Para o primeiro caso, substituindo x = 0 na equação da lemniscata, ficamos com y^4 = -y^2

. Note que essa equação não tem solução real. Portanto, devemos descartar a possibilidade de x = 0.

Já para o segundo caso, substituindo $y^2 = -x^2 + \frac{1}{2}$ na equação da lemniscata, ficamos com $\frac{1}{4} = 2x^2 - \frac{1}{2}$ . Note que essa equação tem duas soluções reais. Cada uma dessas soluções irá determinar duas soluções para y. Teremos então os quatro pontos nos quais a reta tangente é horizontal.

Agora basta seguir uma ideia semelhante para determinar os pontos nos quais a reta tangente é vertical. Nesse caso, devemos ter:

2y^3+y+2x^2y = 0