DÚVIDA EXERCÍCIO Distância entre pontos

por **Danilo** » Seg Abr 16, 2012 02:39

Pessoal, preciso da ajuda pra resolver um exercício sobre distância entre pontos. Vamos lá:

Dados A (5,2) e B (4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.

Bom, tentei fazer assim: vértice C (x,y) e vértice D (z,w). Como é um quadrado (lados iguais), então AB = AC = CD = DB sendo as distâncias entre os pontos A ao ponto B e por aí vai, pois é um quadrado. pelas distâncias dos pontos A a B vi que o quadrado tem lado $\sqrt[]{2}$ e portnato a diagonal vale 2. Sendo assim tentei encontrar relações entre os pontos A (5,2) e C (x,y) sabendo que o comprimento = $\sqrt[]{2}$ e também apelei pra diagonal... mas eu não cheguei a lugar algum! fiz e refiz mas não encontro solução. Quem puder dar uma luz, agradeço desde já!

por **LuizAquino** » Seg Abr 16, 2012 19:28

Danilo escreveu:Dados A (5,2) e B (4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.

Danilo escreveu:Bom, tentei fazer assim: vértice C (x,y) e vértice D (z,w). Como é um quadrado (lados iguais), então AB = AC = CD = DB sendo as distâncias entre os pontos A ao ponto B e por aí vai, pois é um quadrado. pelas distâncias dos pontos A a B vi que o quadrado tem lado $\sqrt[]{2}$ e portnato a diagonal vale 2. Sendo assim tentei encontrar relações entre os pontos A (5,2) e C (x,y) sabendo que o comprimento = $\sqrt[]{2}$ e também apelei pra diagonal... mas eu não cheguei a lugar algum! fiz e refiz mas não encontro solução. Quem puder dar uma luz, agradeço desde já!

Resolver utilizando distância é o caminho mais trabalhoso. É mais direto resolver utilizando vetores.

Temos que:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (4,\,-1) - (5,\, 2) = (-1,\, -3)$

Se C é o vértice consecutivo a B, sabemos que $\overrightarrow{BC}$ é ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ (já que ABCD é um quadrado).

Basta então fazer $\overrightarrow{BC} = (3,\, -1)$ ou $\overrightarrow{BC} = (-3,\, 1)$ (note que em ambos os casos temos $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB} = 0$ ).

Além disso, considerando D como o vértice consecutivo a C, temos que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ (já que ABCD é um quadrado).

Para o primeiro caso, teremos:

$C = B + \overrightarrow{BC} = (4,\,-1) + (3,\,-1) = (7,\, -2)$

$D = A + \overrightarrow{AD} = (5,\,2) + (3,\,-1) = (8,\, 1)$

Para o segundo caso, teremos:

$C = B + \overrightarrow{BC} = (4,\,-1) + (-3,\,1) = (1,\, 0)$

$D = A + \overrightarrow{BC} = (5,\,2) + (-3,\,1) = (2,\, 3)$

Podemos então ter dois quadrados distintos: A = (5, 2), B =(4, -1), C = (7, -2) e D = (8, 1); A = (5, 2), B =(4, -1), C = (1, 0) e D = (2, 3);

por **Danilo** » Seg Abr 16, 2012 20:18

Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então. Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente. E vlw pela resolução utilizando vetores.

por **LuizAquino** » Seg Abr 16, 2012 21:59

Danilo escreveu:Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então.

Para resolver esse exercício usando as distâncias, você precisa também estudar sobre retas perpendiculares.

Danilo escreveu:Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente.

Siga os seguintes passos:

1) determine a reta que passa por B e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: $y = - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ ;

2) determine o ponto P sobre a reta do passo 1) tal que d(P, B) = d(A, B). Note que o formato do ponto P será $\left(x,\,- \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right)$ . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: P = (1, 0) ou P = (7, -2);

3) determine a reta que passa por A e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: $y = - \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$ ;

4) determine o ponto Q sobre a reta do passo 3) tal que d(Q, A) = d(A, B). Note que o formato do ponto Q será $\left(x,\,- \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}\right)$ . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: Q = (8, 1) ou Q = (2, 3).

por **Danilo** » Seg Abr 16, 2012 22:33

Beleza professor, tentarei aqui, obrigado!

por **Danilo** » Ter Abr 17, 2012 00:08

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então.

Para resolver esse exercício usando as distâncias, você precisa também estudar sobre retas perpendiculares.

Danilo escreveu:Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente.

Siga os seguintes passos:

1) determine a reta que passa por B e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: $y = - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ ;

2) determine o ponto P sobre a reta do passo 1) tal que d(P, B) = d(A, B). Note que o formato do ponto P será $\left(x,\,- \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right)$ . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: P = (1, 0) ou P = (7, -2);

3) determine a reta que passa por A e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: $y = - \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$ ;

4) determine o ponto Q sobre a reta do passo 3) tal que d(Q, A) = d(A, B). Note que o formato do ponto Q será $\left(x,\,- \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}\right)$ . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: Q = (8, 1) ou Q = (2, 3).

Só mais umas perguntas: No exercício fala de dois vértices consecutivos, certo. São dois pontos que estão alinhados (vertices do quadrado), certo? Se estão alinhados então os dois pontos deveriam ter a mesma ordenada, certo? Por que eles não têm a mesma ordenada? Não entendi porque dá para determinar mais de 2 pontos e não apenas dois. (já que o exercício pede para determinar dois vértices que estão faltando.) Obrigado!

por **LuizAquino** » Ter Abr 17, 2012 11:23

Danilo escreveu:Se estão alinhados então os dois pontos deveriam ter a mesma ordenada, certo? Por que eles não têm a mesma ordenada?

Errado. Dizer que dois pontos estão alinhados significa dizer que eles estão sobre uma mesma reta.

Dois pontos podem estar sobre uma mesma reta, mas não ter a mesma ordenada.

Por exemplo, suponha a reta y = 2x + 1.

Note que os pontos A = (1, 3) e B = (2, 5) estão sobre a essa reta, mas eles não possuem a mesma ordenada.

Danilo escreveu:Não entendi porque dá para determinar mais de 2 pontos e não apenas dois.

Em uma folha de papel marque dois pontos A e B. Suponha que esses dois pontos sejam vértices consecutivos de um quadrado. Ou seja, AB é um lado desse quadrado. Quantos quadrados com lado AB será possível desenhar nessa folha de papel?