[teoria de limites] dúvida numa questão de prova

[Fabio Wanderley]

Olá, colegas

Caiu a seguinte questão na minha prova de Cálculo I:

"Considere o polinômio de grau n, onde n é ímpar, dado por:



e os a são todos reais. Mostre, usando a teoria de limites, que p(x) admite pelo menos uma raiz real."

Daí eu respondi exatamente assim:

Toda função polinomial é contínua. E de acordo com o Teorema de Bolzano, em um intervalo [a,b] se f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então haverá pelo menos um c em que f(c) = 0.

Pela correção do professor, ele circulou o "f(a)" e o "f(b)" e escreveu "Isso ocorre no polinômio dado?" E a questão foi zerada.

Minha dúvida então é se eu errei por colocar f em vez de p, ou se ela é resolvida corretamente de outra forma.

Desde já agradeço!

[MarceloFantini]

Não foi pela mera troca de nome da função que você errou, mas sim porque simplesmente não resolveu. Seu raciocínio não está errado, porém pense: você exibiu dois pontos tais que um tenha imagem positiva e outro imagem negativa? A resposta é não.

Como o polinômio tem grau ímpar, temos enquanto , logo existem pontos tais que e pelo fato que todo polinômio é contínuo. Pelo teorema de Bolzano, segue a conclusão.

[Fabio Wanderley]

Obrigado, Marcelo!

Agora pude ver que realmente não respondi a questão, faltaram os pontos... E eu ainda não havia considerado o "Mostre, usando a teoria de limites(...)"