[Achar limites de integração] Mudança de variáveis

por **AlexandreTS** » Sex Mar 30, 2012 18:01

Estou com dificuldades em um problema relacionado às mudanças de variáveis em integrais.

Vou dizer o exercício e o que eu pensei em fazer:

Determine o volume da região limitada pela superfície sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) = 1 e pelos planos coordenados.

Como o assunto é de mudanças de variáveis, resolvi começar por isso. Tenho um algoritmo pra resolução desses exercícios que é assim:
1) Fazer a mudança de variáveis para facilitar a integral;
2) Calcular o Jacobiano;
3) Definir as regiões R (no caso, para o sistema xyz) e S (no caso, para o sistema uvw)
4) Calcular a integral

Pois bem;

1) Fiz a seguinte mudança de variáveis: x = uˆ2, y = vˆ2, z = wˆ2

2) Calculei o jacobiano sem dificuldades já que a matriz é muito simples, todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são 0. O resultado é 8uvw

3) Nessa parte eu emperro. Sei que x, y e z variam de 0 a 1 no máximo, mas não consigo definir as regiões R nem a região S, tentei usar todas de 0 a 1, mesmo sabendo que estava errado, pra praticar a resolução da integral, mas essa parte eu acho fácil. O difícil e descobrir os limites de integração!

Pensei em fazer o seguinte: 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1-u, 0 <= w <= 1 - u - v, mas sinceramente não acho que faça muito sentido e resolvi não levar pra frente

Preciso muito de ajuda!

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 18:48

AlexandreTS escreveu:Determine o volume da região limitada pela superfície sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) = 1 e pelos planos coordenados.

AlexandreTS escreveu:Como o assunto é de mudanças de variáveis, resolvi começar por isso. Tenho um algoritmo pra resolução desses exercícios que é assim:
1) Fazer a mudança de variáveis para facilitar a integral;
2) Calcular o Jacobiano;
3) Definir as regiões R (no caso, para o sistema xyz) e S (no caso, para o sistema uvw)
4) Calcular a integral

Pois bem;

1) Fiz a seguinte mudança de variáveis: x = uˆ2, y = vˆ2, z = wˆ2

2) Calculei o jacobiano sem dificuldades já que a matriz é muito simples, todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são 0. O resultado é 8uvw

3) Nessa parte eu emperro. Sei que x, y e z variam de 0 a 1 no máximo, mas não consigo definir as regiões R nem a região S, tentei usar todas de 0 a 1, mesmo sabendo que estava errado, pra praticar a resolução da integral, mas essa parte eu acho fácil. O difícil e descobrir os limites de integração!

Pensei em fazer o seguinte: 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1-u, 0 <= w <= 1 - u - v, mas sinceramente não acho que faça muito sentido e resolvi não levar pra frente

Note que:

$R = \left\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb{R}^3 \;\mid \; 0 < x < 1,\, 0 < y < \left(1 - \sqrt{x}\right)^2,\, 0 < z < \left(1 -\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)^2 \right\}$

Agora tente montar a região S.