Confusão com limite

por **Kabection** » Sex Mar 23, 2012 23:04

Estou confuso na resolução desse limite, o resultado que encontrei foi 1 mas ao usar o software Geogebra o limite dá como resposta 0.5.

$lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

Minha resolução:

1- Multiplico em cima e em baixo por ${\sqrt{1+x}+1$ e fica $\frac{1+x-1}{x*\sqrt{1+x}+x}$

2- Corta 1 com -1 e x em cima com x em baixo resultando em $\frac{1}{\sqrt{1+x}+x}$

3 - Substituindo o 0 nos x's, fica $\frac{1}{\sqrt{1+0}+0}$ = $\frac{1}{1}$ =

Alguém poderia me ajudar?

por **LuizAquino** » Sex Mar 23, 2012 23:11

Kabection escreveu:Estou confuso na resolução desse limite, o resultado que encontrei foi 1 mas ao usar o software Geogebra o limite dá como resposta 0.5.
$lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

Kabection escreveu:Minha resolução:

1- Multiplico em cima e em baixo por ${\sqrt{1+x}+1$ e fica $\frac{1+x-1}{x*\sqrt{1+x}+x}$

Errado. Ao efetuar essa operação obtemos que:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1 + x - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}$

Note que o seu denominador está errado.

Agora continue a resolução considerando essa correção.

por **Kabection** » Sex Mar 23, 2012 23:20

Ahh, nossa que besteira eu errei, estava fazendo a distributiva direto. Muito obrigado LCMAquino.

Completando a resolução:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1 + x - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

por **LuizAquino** » Sáb Mar 24, 2012 02:36

Kabection escreveu:Completando a resolução:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1 + x - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

A ideia básica é essa. Mas tome cuidado com a sua escrita. O correto seria:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1 + x - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Note que devemos escrever a notação "lim" até antes do momento de aproximar x por 0.

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