função simples de derivada

por **miumatos** » Dom Mar 18, 2012 13:06

Bom dia pessoal, preciso de uma ajuda para entender a seguinte função:
(fg)"= gf"+2f'g'+fg"

sei que o resultado é f"g+2f'g'+fg

e a questão pede para provar derivando até a segunda ordem que uma é igual a outra.
já entendo como derivar com numeros mas não consegui associar com este tipo de função.

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 13:18

miumatos escreveu:Bom dia pessoal, preciso de uma ajuda para entender a seguinte função:

sei que o resultado é e a questão pede para provar derivando até a segunda ordem que uma é igual a outra.
já entendo como derivar com numeros mas não consegui associar com este tipo de função.

Você deseja calcular a segunda derivada do produto entre duas funções. Isto é, você deseja calcular $(fg)^{\prime\prime}$ .

Efetuar esse cálculo é o mesmo que fazer $[(fg)^{\prime}]^{\prime}$ .

Aplicando a regra do produto para derivadas, temos que:

$(fg)^{\prime} = f^\prime g + f g^\prime$

Sendo assim, temos que:

$(fg)^{\prime\prime} = [(fg)^{\prime}]^{\prime}$

$(fg)^{\prime\prime} = (f^\prime g + f g^\prime)^{\prime}$

Aplicando agora a regra da soma para derivadas, temos que:

$(fg)^{\prime\prime} = (f^\prime g)^\prime + (f g^\prime)^{\prime}$

Aplicando novamente a regra do produto para derivadas, temos que:

$(fg)^{\prime\prime} = [(f^\prime)^\prime g + f^\prime g^\prime] + [f^\prime g^\prime + f (g^\prime)^\prime]$

$(fg)^{\prime\prime} = f^{\prime\prime} g + 2f^\prime g^\prime + f g^{\prime\prime}$

por **miumatos** » Dom Mar 18, 2012 15:29

ok, entendi.
Muito obrigado.

função simples de derivada

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