Integral - explicação da resolução

por **dina ribeiro** » Qui Mar 15, 2012 21:20

Boa noite!
Gostaria de entender como foi resolvida essa integral . (Essa resolução é do livro)
$\int_{}^{}1/({3x+1})^{2}dx$
= $1/3\int_{}^{}1/{u}^{2}du$
com [u=3x+1 , du=3 dx]
Não consigo enxergar a constante 1/3 que saiu da integral

= -1/3u + C

Grata

por **fraol** » Qui Mar 15, 2012 21:31

Veja que você pode escrever

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}}dx$ da seguinte forma:

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}} \frac{3}{3} dx$ , pois $\frac{3}{3} = 1$ . Então podemos prosseguir assim:

$\int \frac{1}{3} \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$ e, por fim, assim:

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$

Agora é aplicar a substituição sugerida pelo livro.

por **dina ribeiro** » Qui Mar 15, 2012 21:53

fraol escreveu:Veja que você pode escrever

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}}dx$ da seguinte forma:

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}} \frac{3}{3} dx$ , pois $\frac{3}{3} = 1$ . Então podemos prosseguir assim:

$\int \frac{1}{3} \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$ e, por fim, assim:

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$

Agora é aplicar a substituição sugerida pelo livro.

Obrigada!!!

por **dina ribeiro** » Qui Mar 15, 2012 22:25

Gostaria de entender essa regra: u = 3x+1

Em uma das tentativas em resolver a integral usei : $\int_{}^{}u*dv = u*v - \int_{}^{} v *du$
sendo $u=\frac{1}{(3x+1)}{}^{2}$ e dv= dx

E em outra tentativa simplemente a integral deu ln (3x+1)².

E possível que me explique passo a passo como foi feito a respota do livro.

Grata

por **fraol** » Qui Mar 15, 2012 23:24

fraol escreveu:Veja que você pode escrever

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}}dx$ da seguinte forma:

$\int \frac{1}{({3x+1})^{2}} \frac{3}{3} dx$ , pois $\frac{3}{3} = 1$ . Então podemos prosseguir assim:

$\int \frac{1}{3} \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$ e, por fim, assim:

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx$

Agora é aplicar a substituição sugerida pelo livro.

Assim vamos continuar:

Se você fizer a substituição sugerida: u = 3x + 1

então derivando essa expressão em relação a x você tem:

$u = 3x + 1 => \frac{du}{dx} = 3 \iff du = 3 dx$ .

Voltando na integral que desenvolvemos e fazendo a substituição:

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{({3x+1})^{2}} {3} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{(u)^{2}} du$

Agora é o momento de desenvolver a integral de $\frac{1}{u^2}$ que é igual a $- \frac{1}{u}$ .

Assim $\frac{1}{3} \int \frac{1}{(u)^{2}} du = \frac{1}{3} \left ( - \frac{1}{u} \right ) + C$ .

Agora é desfazer a substituição de u e você terá a expressão do livro.

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